Как посчитать вероятность события: формулы и примеры расчета

Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений. Понимание того, как посчитать вероятность, необходимо не только для сдачи экзаменов, но и для оценки рисков в бизнесе, прогнозирования погоды или анализа шансов в играх.

В этом материале мы разберем основные методы расчета: от простейшей классической формулы до комбинаций нескольких событий.

Классическое определение вероятности

Самый распространенный способ вычислить шанс наступления события — использовать классическое определение. Оно применимо, когда количество исходов конечно и все они равновозможны.

Основная формула

Вероятность события $A$ обозначается как $P(A)$ и рассчитывается по формуле:

Где:

• m — количество благоприятных исходов (исходы, при которых событие $A$ наступает).
• n — общее количество всех возможных элементарных исходов.

Свойства вероятности

1. Вероятность всегда находится в диапазоне от 0 до 1: $0 \le P(A) \le 1$.
2. Если $P(A) = 0$, событие называется невозможным.
3. Если $P(A) = 1$, событие называется достоверным.

Пример расчета

Задача: В лотерейном барабане лежат 50 шаров, пронумерованных от 1 до 50. Какова вероятность вытянуть шар с числом 7?

Решение:

1. Общее число исходов ($n$) = 50 (всего шаров).
2. Благоприятный исход ($m$) = 1 (только один шар имеет номер 7).
3. Расчет: $P = 1 / 50 = 0.02$.

В процентах шанс составляет $2\%$.

Вероятность противоположного события

Часто бывает проще посчитать вероятность того, что событие не произойдет, и вычесть это число из единицы. Сумма вероятности события и его противоположности всегда равна 1.

Формула:

Где $\bar{A}$ — событие, противоположное $A$.

Пример: Вероятность того, что деталь бракованная, составляет 0.05. Какова вероятность, что деталь исправна?

Сложные события: теоремы сложения и умножения

Когда речь идет о комбинации нескольких событий (например, “выпадет орел ИЛИ решка”, “пойдет дождь И я забуду зонт”), применяются теоремы сложения и умножения.

Сложение вероятностей (Союз “ИЛИ”)

Применяется, когда нас интересует наступление хотя бы одного из событий.

1. Для несовместных событий (не могут произойти одновременно):

   $$P(A + B) = P(A) + P(B)$$

   Пример: Выпадение 1 или 2 на игральной кости. $1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3$.

2. Для совместных событий (могут наступить одновременно):

   $$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B)$$

   Пример: Вытянуть из колоды туза ИЛИ карту пиковой масти (существует туз пик, который относится к обеим группам).

Умножение вероятностей (Союз “И”)

Применяется, когда нужно, чтобы произошли оба события одновременно или последовательно.

1. Для независимых событий (исход одного не влияет на другое):

   $$P(A \cdot B) = P(A) \times P(B)$$

   Пример: Подбрасываем две монеты. Вероятность выпадения двух орлов: $0.5 \times 0.5 = 0.25$.

2. Для зависимых событий (появление первого события меняет вероятность второго):

   $$P(A \cdot B) = P(A) \times P(B|A)$$

   Где $P(B|A)$ — условная вероятность события $B$ при условии, что $A$ уже наступило.

Пример с зависимыми событиями

В урне 3 белых и 2 черных шара. Мы достаем два шара по очереди без возвращения. Какова вероятность, что оба шара будут белыми?

1. Вероятность достать первый белый шар: $3/5$.
2. В урне осталось 4 шара, из них 2 белых.
3. Вероятность достать второй белый шар: $2/4 = 1/2$.
4. Итоговая вероятность: $\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} = 0.3$.

Статистическая вероятность

Если рассчитать теоретическую вероятность сложно (например, предсказать выход из строя оборудования), используется статистический метод. Он основан на относительной частоте появления события в серии испытаний.

Формула:

Где:

• $M$ — сколько раз событие фактически произошло.
• $N$ — общее количество проведенных наблюдений (испытаний).

Чем больше наблюдений проведено (закон больших чисел), тем ближе статистическая частота к истинной математической вероятности.

Схема Бернулли: повторные независимые испытания

Если одно и то же испытание проводится $n$ раз, и вероятность успеха $p$ в каждом случае неизменна, то вероятность того, что событие наступит ровно $k$ раз, рассчитывается по формуле Бернулли:

Где:

• $C_n^k$ — число сочетаний (биномиальный коэффициент): $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• $p$ — вероятность успеха в одном испытании.
• $q = 1 - p$ — вероятность неудачи.

Этот метод идеально подходит для задач типа: “Монету подбросили 10 раз. Какова вероятность, что орел выпадет ровно 3 раза?”.

Алгоритм решения задач

Чтобы правильно посчитать вероятность и не допустить ошибку, следуйте этому алгоритму:

1. Определите тип события. Случайное, достоверное или невозможное?
2. Сформулируйте условие. Четко определите, что является благоприятным исходом ($m$), а что — полным набором исходов ($n$).
3. Проверьте зависимость. Если событий несколько, влияют ли они друг на друга? Это определит выбор формулы (умножение для зависимых/независимых).
4. Выберите формулу. Классическая для простых случаев, суммы/произведения для составных, Бернулли для серий.
5. Выполните расчет.
6. Проверьте результат. Ответ должен быть числом от 0 до 1. Если получилось 1.5 или -0.2 — ищите ошибку.

Частые ошибки новичков

• Ошибка игрока. Убеждение, что если монета 10 раз упала орлом, то на 11-й раз вероятность решки выше. Это не так: у монеты “нет памяти”, вероятность каждого отдельного броска по-прежнему $1/2$.
• Путаница между “И” и “ИЛИ”. Запомните: “И” — это умножение (сужение вероятности), “ИЛИ” — это сложение (расширение вероятности).
• Неверный подсчет общего числа исходов. Например, при броске двух костей сумма 12 выпадает только в одном случае (6+6), а сумма 6 — в пяти (1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1).

Понимание того, как рассчитываются вероятности, позволяет трезво оценивать шансы и принимать взвешенные решения в условиях неопределенности. Для быстрых вычислений вы всегда можете воспользоваться нашим онлайн-калькулятором.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.