Как посчитать погрешность измерения: формулы и расчет онлайн

В статье разобраны методы вычисления ошибок измерений: от простых школьных задач до обработки серии экспериментов. Вы узнаете, как определить абсолютное и относительное отклонение, оценить точность приборов и интерпретировать полученные результаты.

Обновлено:

Содержание статьи
Выберите тип расчета
Данные измерения

Значение из паспорта прибора или справочника.

Любое измерение, будь то взвешивание товара в магазине или высокоточный физический эксперимент, никогда не бывает абсолютно точным. Всегда существует отклонение от истинного значения. Понимание того, как посчитать погрешность, необходимо инженерам, студентам, строителям и всем, кто работает с цифрами, чтобы понимать достоверность полученных данных.

В этом руководстве мы разберем основные виды ошибок, формулы их вычисления и способы оценки точности приборов.

Основные понятия и определения

Прежде чем переходить к формулам, важно разграничить два ключевых термина, которые часто путают новички.

  1. Абсолютная погрешность ($\Delta x$) — это значение, показывающее, на сколько именно единиц (метров, граммов, секунд) измеренное число отличается от идеального (истинного). Она выражается в тех же единицах измерения, что и сама величина.
  2. Относительная погрешность ($\varepsilon$) — это отношение абсолютной ошибки к истинному значению. Она показывает “качество” измерения и обычно выражается в процентах.

Также ошибки делятся по происхождению:

Расчет абсолютной погрешности

Это первый этап оценки точности. Чтобы посчитать абсолютную погрешность, нужно знать истинное значение величины. В учебных задачах оно часто дано как эталонное. На практике за истинное значение принимают среднее арифметическое после множества замеров.

Формула

$$ \Delta x = | x*{изм} - x*{ист} | $$

Где:

Пример расчета

Предположим, вы измерили длину стола рулеткой и получили $120.5$ см. Известно (по заводской спецификации), что эталонная длина составляет $120.0$ см.

$$ \Delta x = | 120.5 - 120.0 | = 0.5 \text{ см} $$

Ответ: абсолютная ошибка составляет $0.5$ см.

Расчет относительной погрешности

Абсолютная ошибка сама по себе малоинформативна. Ошибка в $1$ кг при взвешивании автомобиля — это отличная точность, а при взвешивании золотого кольца — катастрофа. Чтобы понять масштаб проблемы, нужно посчитать относительную погрешность.

Формула

$$ \varepsilon = \frac{\Delta x}{x\_{ист}} \cdot 100\% $$

Где:

Пример расчета

Используем данные из предыдущего примера со столом.

$$ \varepsilon = \frac{0.5}{120} \cdot 100\% \approx 0.41\% $$

Вывод: точность измерения очень высокая, ошибка составляет менее полпроцента.

Как учитывать погрешность приборов

Если вы делаете всего одно измерение (прямое измерение), источником ошибки считается точность самого инструмента. Это называется инструментальной погрешностью.

Правила определения для разных инструментов:

  1. Для инструментов со шкалой (линейка, мензурка, аналоговый вольтметр): Погрешность равна половине цены деления ($\Delta_{приб} = C / 2$).

    • Пример: У школьной линейки цена деления 1 мм. Погрешность = $0.5$ мм.

  2. Для инструментов без шкалы (гири, цифровые приборы): Погрешность указывается в паспорте или на корпусе. Для цифровых весов или мультиметров ошибкой часто считается $1$ единица младшего разряда (последней цифры на дисплее).

  3. Суммарная ошибка: Если в эксперименте есть и случайные факторы, и неточность прибора, полная абсолютная погрешность рассчитывается как:

    $$ \Delta x = \sqrt{\Delta*{случ}^2 + \Delta*{приб}^2} $$

    Однако в школьном курсе физики часто просто берут сумму или наибольшую из величин.

Алгоритм обработки серии измерений

На лабораторных работах и в науке редко доверяют одному измерению. Обычно делают серию (3, 5 или 10 раз), чтобы исключить случайные промахи.

Шаг 1. Найти среднее арифметическое. Сложите все результаты и разделите на их количество ($n$). Это будет наиболее вероятным значением величины ($x_{ср}$).

$$ x\_{ср} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} $$

Шаг 2. Найти отклонения каждого измерения. Посчитайте, насколько каждый замер отличается от среднего.

$$ \Delta x*1 = |x_1 - x*{ср}| $$

$$ \Delta x*2 = |x_2 - x*{ср}| $$

Шаг 3. Вычислить среднюю абсолютную погрешность. Найдите среднее арифметическое полученных отклонений.

$$ \Delta x\_{ср} = \frac{\Delta x_1 + \Delta x_2 + ... + \Delta x_n}{n} $$

Шаг 4. Записать финальный ответ. Результат записывается в стандартном виде:

$$ X = x*{ср} \pm \Delta x*{ср} $$

Примечание: Для более точных научных расчетов вместо шага 3 используют метод среднеквадратичного отклонения (стандартного отклонения) и коэффициенты Стьюдента, но описанный выше метод среднего модуля достаточен для базовых задач.

Правила записи и округления

Мало просто посчитать погрешность, её нужно правильно оформить. Существуют строгие правила метрологии:

  1. Округление погрешности: Абсолютную погрешность округляют до одной значащей цифры.

    • Верно: $0.03$; $0.007$; $400$.
    • Исключение: Если первая значащая цифра — единица (например, $0.14$), то оставляют две цифры ($0.14$, а не $0.1$).

  2. Округление результата: Результат измерения (среднее значение) округляют до того же разряда, что и погрешность.

    • Пример: Если погрешность $\pm 0.02$ м, а среднее получилось $5.6789$ м, то записываем $5.68 \pm 0.02$ м. Последняя цифра результата должна быть “под” последней цифрой ошибки.

Косвенные измерения

Часто нам нужно найти величину, которую нельзя измерить напрямую (например, плотность, скорость или площадь прямоугольника, измерив его стороны). Как считать погрешность в этом случае?

Если $Z = f(X, Y)$, то ошибки “накапливаются”.

Таблица типовых погрешностей бытовых приборов

Для быстрой оценки точности измерений в быту можно ориентироваться на следующие значения:

ПриборЦена деленияСтандартная погрешность
Линейка канцелярская1 мм± 0.5 мм
Рулетка строительная1 мм± 0.5 - 1 мм
Транспортир1°± 0.5°
Штангенциркуль0.05 мм или 0.1 мм± 0.05 мм
Мерный стакан (кухня)50 мл± 25 мл
Секундомер (телефон)0.01 с± 0.1 — 0.2 с (реакция человека)

Использование этих методов позволит вам корректно проводить расчеты, сдавать лабораторные работы без ошибок и адекватно оценивать точность любых бытовых измерений.

Часто задаваемые вопросы

Как найти абсолютную погрешность измерения?

Для единичного замера нужно найти модуль разности между полученным значением и истинным (или эталонным). Если истинное значение неизвестно, используют среднее арифметическое серии измерений. Формула: Δx = |Measuring - True|.

Как рассчитать относительную погрешность в процентах?

Необходимо разделить абсолютную погрешность на действительное (истинное) значение измеряемой величины и умножить результат на 100%. Формула: ε = (Δx / x) * 100%.

Чему равна погрешность измерительного прибора?

Для аналоговых приборов (линейка, весы со стрелкой) инструментальная ошибка обычно принимается равной половине цены деления шкалы. Для цифровых приборов она указывается в паспорте устройства (часто равна единице младшего разряда).

Зачем переводить ошибку в проценты?

Относительная погрешность (в процентах) позволяет оценить качество и точность измерения независимо от масштаба величины. Ошибка в 1 см для карандаша — это много, а для длины моста — ничтожно мало.

Как округлять результат с учетом погрешности?

Абсолютную погрешность обычно округляют до одной значащей цифры (или до двух, если первая цифра — 1 или 2). Сам результат измерения округляют до того же разряда, которым заканчивается значение погрешности.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.