Как посчитать круг: все формулы и примеры

Круг – одна из базовых фигур в геометрии. Чтобы посчитать его параметры, достаточно знать всего одну величину: радиус, диаметр, длину окружности или площадь. По одному из этих значений все остальные находятся через простые формулы с числом π.

Основные формулы круга

Все расчёты круга строятся вокруг трёх величин: радиуса (r), длины окружности (L) и площади (S). Диаметр (d) – это просто удвоенный радиус.

Постоянная π («пи») ≈ 3,14159 – отношение длины окружности к её диаметру. Это число одинаково для любого круга.

Как посчитать длину окружности

Длина окружности – это расстояние вдоль всей замкнутой кривой. Формула:

L = 2 × π × r

Или через диаметр:

L = π × d

Пример. Колесо велосипеда с диаметром 700 мм. За один оборот колесо проезжает расстояние, равное длине окружности:

L = 3,14159 × 700 = 2 199,1 мм ≈ 2,2 м

Именно столько велосипед проезжает за один полный оборот педалей.

Как посчитать площадь круга

Площадь показывает, сколько места занимает круг на плоскости. Формула:

S = π × r²

Пример. Нужно рассчитать площадь круглого стола с диаметром 120 см. Сначала находим радиус:

r = 120 / 2 = 60 см

S = 3,14159 × 60² = 3,14159 × 3 600 = 11 309,7 см² ≈ 1,13 м²

Такой стол займёт чуть больше одного квадратного метра.

Формула площади по диаметру

Если известен диаметр, а не радиус, можно не делить на 2, а подставить сразу:

S = π × d² / 4

Проверим на том же столе: S = 3,14159 × 120² / 4 = 3,14159 × 14 400 / 4 = 11 309,7 см² – тот же результат.

Как посчитать радиус и диаметр

Радиус – это расстояние от центра круга до любой точки на окружности. Диаметр вдвое больше.

По известной длине окружности:

r = L / (2 × π)

По известной площади:

r = √(S / π)

Пример. Участок круглой формы площадью 314 м². Каков его радиус?

r = √(314 / 3,14159) = √100 = 10 м

Диаметр участка: d = 2 × 10 = 20 м.

Как посчитать хорду и сектор круга

Помимо основных формул, на практике часто нужны дополнительные расчёты.

Хорда

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности. Если известен centralный угол α (в градусах) и радиус r:

c = 2 × r × sin(α / 2)

Пример. Радиус 15 см, центральный угол 60°:

c = 2 × 15 × sin(30°) = 30 × 0,5 = 15 см

Площадь сектора

Сектор – «кусок пирога», ограниченный двумя радиусами и дугой:

Sсектора = (α / 360°) × π × r²

Пример. Круглый торт диаметром 26 см разрезан на 8 равных частей. Площадь одного куска:

r = 13 см, α = 360° / 8 = 45°

S = (45 / 360) × 3,14159 × 13² = 0,125 × 530,9 = 66,4 см²

Длина дуги

Дуга – часть окружности:

l = (α / 360°) × 2 × π × r

Таблица быстрых подсчётов

Для распространённых диаметров значения площади и длины окружности пригодятся без калькулятора:

Частые ошибки при расчёте круга

• Забывают возвести радиус в квадрат. Формула площади π × r² – это «пи умножить на r в квадрате», а не «пи умножить на r, потом на 2».
• Смешивают длину окружности и площадь. Длина измеряется в линейных единицах (м, см), площадь – в квадратных (м², см²).
• Берут диаметр вместо радиуса. Если известен диаметр 10, то радиус – 5, а не 10.
• Используют неправильное π. Значение 3,14 подходит для оценки, но в точных расчётах лучше брать больше знаков или использовать калькулятор.

Применение формул круга в жизни

Формулы круга пригодятся не только на уроках геометрии:

• Ремонт и строительство – рассчитать количество материала для круглой клумбы, площадь круглого бассейна, длину ограждения.
• Кулинария – определить площадь теста для пиццы, чтобы хватило ингредиентов.
• Спорт – длина беговой дорожки стадиона, размеры спортивных площадок.
• Инженерия – расчёт деталей: шестерни, подшипники, трубы, колёса.
• Земельные участки – площадь круглого участка для определения кадастровой стоимости.

Для финансовых, медицинских и юридических расчётов рекомендуем дополнительно проконсультироваться со специалистом.