Как посчитать корень: онлайн, вручную и по формуле

Что значит «посчитать корень»

В большинстве задач под фразой «как посчитать корень» имеют в виду квадратный корень числа:

Это такое число \(x\), что \(x^2 = a\).

Обобщение — корень n‑й степени:

где \(n\) — натуральное число (2, 3, 4, …).

Ниже разберёмся, как посчитать корень:

• быстро — с помощью онлайн‑калькулятора;
• точно — по формуле;
• «по‑школьному» — разложением и подбором.

Базовые свойства корня, которые нужно помнить

Полезные правила:

1. Корень из произведения
   

   \[ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}, \quad a \ge 0, b \ge 0 \]

2. Корень из дроби
   

   \[ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, \quad a \ge 0, b > 0 \]

3. Квадрат корня
   

   \[ (\sqrt{a})^2 = a, \quad a \ge 0 \]

4. Корень из квадрата
   

   \[ \sqrt{a^2} = |a| \]

   Всегда берётся неотрицательное значение.

5. Отрицательное подкоренное выражение

   • Для чётной степени (2, 4, 6…) в обычной школьной арифметике нельзя: \(\sqrt{-4}\) — не определён.
   • Для нечётной степени корень существует: \(\sqrt[3]{-8} = -2\).

Как посчитать корень онлайн

Наиболее простой и практичный способ.

1. Введите число, из которого нужно извлечь корень (например, 196).
2. Выберите тип корня:
   • квадратный: √a;
   • кубический: √[3]{a};
   • n‑й степени: √[n]{a}, задайте n.
3. Укажите точность (количество знаков после запятой).
4. Нажмите «Рассчитать» и получите результат:
   • значение корня;
   • проверку: результат в степени n.

Онлайн‑подход удобен, когда:

• число «некрасивое» (например, √37);
• нужна высокая точность (до 6–8 знаков);
• считаете корень из дробей, процентов, больших чисел.

Как посчитать корень в уме или на бумаге

1. Идеальные квадраты

Нужно знать хотя бы таблицу квадратов от 1 до 20:

Примеры:

• \(\sqrt{196} = 14\), так как \(14^2 = 196\);
• \(\sqrt{256} = 16\), так как \(16^2 = 256\).

2. Разложение на множители

Метод работает для чисел, у которых есть квадратные множители.

Пример: посчитать \(\sqrt{180}\).

1. Разложим 180: \[ 180 = 18 \cdot 10 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \]
2. Выносим полные квадраты из‑под корня: \[ \sqrt{180} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{5} \]

Если нужно получить десятичное число, берём приближённое значение:

• \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\),
• \(\sqrt{180} \approx 6 \cdot 2{,}236 = 13{,}416\).

Приближённый расчёт квадратного корня

Метод подбора с уточнением

Пример: посчитать \(\sqrt{50}\) «на глаз».

1. Находим ближайшие квадраты:
   • \(7^2 = 49\);
   • \(8^2 = 64\).
2. Значит: \[ 7 < \sqrt{50} < 8 \]
3. 50 очень близко к 49, поэтому \(\sqrt{50}\) чуть больше 7.
   Возьмём 7,1 и проверим: \[ 7{,}1^2 = 50{,}41 \] Перевысили 50 → корень между 7,0 и 7,1.
   Дальше можно уточнять до нужной точности.

Этот способ годится для прикидок и проверки арифметики.

Метод Ньютона (для тех, кто любит формулы)

Хотим найти \(\sqrt{S}\). Формула итерации:

Алгоритм:

1. Выберите начальное приближение \(x_0\) (обычно берут число, «похожее» на корень).
2. Подставляйте в формулу, пока значение почти не перестанет меняться.

Пример: \(\sqrt{10}\).

1. Берём \(x_0 = 3\) (так как \(3^2 = 9\) близко к 10).
2. Первая итерация: \[ x_1 = \frac{3 + 10/3}{2} = \frac{3 + 3{,}333...}{2} \approx \frac{6{,}333}{2} = 3{,}1665 \]
3. Вторая итерация: \[ x_2 = \frac{3{,}1665 + 10/3{,}1665}{2} \approx \frac{3{,}1665 + 3{,}1579}{2} = 3{,}1622 \]

Истинное значение \(\sqrt{10} \approx 3{,}1623\). Уже после двух шагов точность до 4 знаков.

Как посчитать корень n‑й степени

Общее определение:

Вручную (логика и приближение)

Пример: \(\sqrt[3]{125}\).

• Ищем число \(x\), для которого \(x^3 = 125\).
• Знаем, что \(5^3 = 125\), значит \(\sqrt[3]{125} = 5\).

Пример: \(\sqrt[3]{30}\) — неидеальный куб.

1. Знаем:
   • \(3^3 = 27\);
   • \(4^3 = 64\).
2. Следовательно: \[ 3 < \sqrt[3]{30} < 4 \]
3. Для точного значения удобнее использовать онлайн‑калькулятор или метод Ньютона, но уже для уравнения \(x^3 = 30\).

В калькуляторе

Почти в любом инженерном калькуляторе:

1. Введите число \(a\).
2. Нажмите кнопку степени \(x^y\).
3. Введите показатель \(1/n\) (например, 1/3 для кубического корня).
4. Получите значение \(\sqrt[n]{a}\).

Корень из дробей и процентов

Дроби

Пример: \(\sqrt{\frac{9}{16}}\).

1. Применяем правило: \[ \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} = 0{,}75 \]

Пример: \(\sqrt{\frac{2}{5}}\).

1. Корни числителя и знаменателя — нецелые.
2. Удобный способ: перевести в десятичную дробь: \[ \frac{2}{5} = 0{,}4,\quad \sqrt{0{,}4} \approx 0{,}632 \]
3. Для точности используйте онлайн‑калькулятор.

Проценты

1. Переводим процент в долю:
   • 25% → 0,25;
   • 9% → 0,09.
2. Считаем корень:
   • \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\);
   • \(\sqrt{0{,}09} = 0{,}3\).

Проверка результата и типичные ошибки

Как проверить корень

1. Возведите найденное значение в соответствующую степень.
2. Сравните с исходным числом.

Пример:
Нашли \(\sqrt{37} \approx 6{,}083\).
Проверка: \(6{,}083^2 \approx 36{,}999\) — значит, попали с хорошей точностью.

Частые ошибки

• Забывают модуль:
  \(\sqrt{(-3)^2} = 3\), а не −3.
• Пытаются извлечь чётный корень из отрицательного числа:
  \(\sqrt{-9}\) в действительных числах не существует.
• Неправильно выносят множители из‑под корня, например:
  \(\sqrt{12} ≠ 2\sqrt{6}\) (правильно: \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)).

Вывод

Чтобы грамотно посчитать корень, достаточно:

• помнить базовые свойства корней и таблицу квадратов;
• уметь раскладывать число на множители;
• пользоваться онлайн‑калькулятором или методом Ньютона для сложных случаев.

Так вы сможете уверенно считать квадратные и другие корни — от простых школьных задач до прикладных вычислений в учёбе и работе.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.