Обновлено:

Как посчитать дисперсию: формула, примеры и онлайн калькулятор

Дисперсия показывает меру разброса данных относительно среднего значения: чем она выше, тем сильнее колебания. В этой статье вы найдете формулы для генеральной совокупности и выборки, а также подробные примеры ручного расчета. Материал полезен студентам, аналитикам и всем, кто работает со статистикой.

Содержание статьи
Ввод данных Введите минимум два числа.
Тип расчета
Выберите "Выборка", если у вас только часть данных. Выберите "Генеральная совокупность", если у вас есть полные данные по всем объектам.

Дисперсия — это один из фундаментальных показателей в статистике, который характеризует меру разброса значений случайной величины относительного их математического ожидания (среднего). Понимание того, как посчитать дисперсию, необходимо не только для решения учебных задач, но и для анализа рисков в финансах, контроля качества на производстве и оценки погрешностей в научных экспериментах.

В этой статье мы подробно разберем алгоритм вычислений, объясним разницу между генеральной и выборочной дисперсией и приведем понятные примеры.

Что такое дисперсия и зачем она нужна

Простыми словами, дисперсия показывает, насколько далеко данные “разлетаются” от среднего значения.

Математический смысл: Дисперсия — это средний квадрат отклонений значений от среднего арифметического. Почему именно квадрат? Если мы просто сложим отклонения (разницу между числом и средним), сумма всегда будет равна нулю, так как положительные и отрицательные значения взаимоуничтожатся. Возведение в квадрат решает эту проблему и придает больший вес сильным отклонениям.

Основные обозначения

Прежде чем переходить к формулам, определимся с переменными:

Формулы для расчета дисперсии

Главная сложность, с которой сталкиваются при расчетах, — выбор правильной формулы. Существует два подхода в зависимости от того, какие данные у вас на руках: полный набор или только его часть.

1. Дисперсия генеральной совокупности

Используется, когда у вас есть данные по абсолютно всем интересующим объектам (например, оценки всех учеников класса или зарплаты всех сотрудников одного отдела).

$$ \sigma^2 = \frac{\sum\_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N} $$

Где:

2. Выборочная дисперсия (исправленная)

Используется чаще всего. Применяется, когда мы анализируем лишь часть большой группы (выборку) и хотим сделать вывод о всей группе. Например, опрос 1000 человек для прогноза мнения всей страны.

$$ S^2 = \frac{\sum\_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} $$

Важно: Обратите внимание на знаменатель. Здесь мы делим на $n - 1$. Это называется поправкой Бесселя. Она делает оценку несмещенной, компенсируя тот факт, что выборка может не идеально отражать крайние значения генеральной совокупности.

3. Альтернативная формула (для упрощения расчетов)

Для ручного счета иногда удобнее использовать формулу через “среднее квадратов минус квадрат среднего”:

$$ D = \overline{X^2} - (\bar{X})^2 $$

Эта формула математически эквивалентна первой, но часто требует меньше вычислений на промежуточных этапах.

Алгоритм расчета: пошаговая инструкция

Независимо от типа данных, общая логика вычислений строится по следующему алгоритму:

  1. Вычислите среднее арифметическое ($\bar{x}$ или $\mu$). Сложите все числа и разделите на их количество.
  2. Найдите отклонения. Вычтите среднее значение из каждого числа вашего набора ($x_i - \bar{x}$).
  3. Возведите отклонения в квадрат. Каждое полученное на предыдущем шаге число умножьте само на себя. Все результаты станут положительными.
  4. Найдите сумму квадратов. Сложите все результаты из шага 3.
  5. Разделите сумму.
    • На количество чисел ($N$), если считаете для генеральной совокупности.
    • На количество чисел минус один ($n-1$), если считаете для выборки.

Практические примеры расчета

Рассмотрим конкретную задачу, чтобы закрепить понимание.

Пример: Оценки студентов

Представим, что у нас есть выборка оценок 5 студентов за экзамен: Данные: 3, 4, 4, 5, 2.

Шаг 1: Среднее арифметическое

$$ \bar{x} = \frac{3 + 4 + 4 + 5 + 2}{5} = \frac{18}{5} = 3,6 $$

Шаг 2 и 3: Отклонения и их квадраты

Значение ($x_i$)Отклонение ($x_i - 3,6$)Квадрат отклонения $(x_i - 3,6)^2$
3$3 - 3,6 = -0,6$0,36
4$4 - 3,6 = 0,4$0,16
4$4 - 3,6 = 0,4$0,16
5$5 - 3,6 = 1,4$1,96
2$2 - 3,6 = -1,6$2,56

Шаг 4: Сумма квадратов

$$ \sum = 0,36 + 0,16 + 0,16 + 1,96 + 2,56 = 5,2 $$

Шаг 5: Расчет дисперсии Так как в условии сказано, что это выборка студентов, используем формулу с $n-1$.

$$ n = 5 $$

$$ n - 1 = 4 $$$$ S^2 = \frac{5,2}{4} = 1,3 $$

Ответ: Выборочная дисперсия равна 1,3.

Свойства дисперсии

Для более глубокого понимания полезно знать ключевые свойства, которые часто используются в теории вероятностей:

  1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. $D(C) = 0$, где $C$ — константа. Если значения не меняются, разброса нет.
  2. Вынос множителя. Множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате: $D(C \cdot X) = C^2 \cdot D(X)$. Если все данные увеличить в 2 раза, дисперсия вырастет в 4 раза.
  3. Дисперсия суммы. Если $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий: $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$.
  4. Сдвиг не влияет. Прибавление числа к каждому элементу выборки не меняет разброс: $D(X + C) = D(X)$. График просто сдвигается, но его “ширина” остается прежней.

Связь со среднеквадратическим отклонением

Дисперсия имеет один существенный недостаток с точки зрения восприятия: она выражается в “квадратных попугаях”. Если исходные данные — метры, дисперсия будет в квадратных метрах. Если рубли — в “квадратных рублях”.

Чтобы вернуться к понятным единицам измерения, используют стандартное (среднеквадратическое) отклонение ($\sigma$ или $sd$).

Формула связи предельно проста:

$$ \sigma = \sqrt{D} $$

То есть, для получения стандартного отклонения нужно просто извлечь квадратный корень из дисперсии. В нашем примере выше: $\sqrt{1,3} \approx 1,14$. Это означает, что в среднем оценки студентов отклоняются от балла 3,6 на 1,14 балла.

Расчет дисперсии в Excel и Google Таблицах

В современной работе вручную дисперсию считают редко. Табличные процессоры делают это мгновенно.

Тип расчетаРусская функцияАнглийская функция
Генеральная совокупность=ДИСП.Г(диапазон)=VAR.P(range)
Выборка=ДИСП.В(диапазон)=VAR.S(range)
Устаревшая общая (для выборки)=ДИСП(диапазон)=VAR(range)

Пример использования: Если ваши данные находятся в ячейках от A1 до A10, просто введите формулу =ДИСП.В(A1:A10) и нажмите Enter.

Типичные ошибки при вычислениях

  1. Путаница с делением: Самая частая ошибка — деление на $N$ вместо $n-1$ при работе с выборкой. Задайте себе вопрос: “Это все данные, которые существуют в природе по этому вопросу, или только малая часть?”. Если часть — делите на $n-1$.
  2. Забытое возведение в квадрат: Нельзя просто сложить разности (их сумма равна нулю) или сложить модули разностей (это будет уже среднее абсолютное отклонение, другой показатель).
  3. Ошибки округления: Если округлить среднее значение слишком сильно на первом шаге, итоговая погрешность при возведении в квадрат может быть значительной. Старайтесь сохранять дроби до конца расчетов.

Понимание того, как посчитать дисперсию, открывает двери к более сложным методам анализа. Это база для расчета корреляции, построения доверительных интервалов и проверки статистических гипотез. Используйте онлайн-калькулятор на этой странице для быстрой проверки своих решений.

Часто задаваемые вопросы

В чем разница между дисперсией генеральной совокупности и выборки?

При расчете для генеральной совокупности (всех данных) сумма квадратов отклонений делится на общее число элементов N. Для выборки (части данных) деление происходит на n-1 (поправка Бесселя) для получения несмещенной оценки.

В каких единицах измеряется дисперсия?

Дисперсия измеряется в единицах исходных данных, возведенных в квадрат (например, квадратные метры или квадратные килограммы). Это затрудняет прямую интерпретацию, поэтому часто используют квадратный корень из дисперсии.

Как быстро посчитать дисперсию в Excel?

Используйте функцию ДИСП.Г для генеральной совокупности или ДИСП.В для выборки.

Что делать, если дисперсия равна нулю?

Если дисперсия равна нулю, это означает отсутствие разброса: все значения в наборе данных абсолютно одинаковы и равны среднему значению.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.