Как переводить из системы в систему

Что такое система счисления

Система счисления — это способ записи чисел с помощью определённого набора символов (цифр) по установленным правилам. Основание системы определяет количество уникальных цифр: в десятичной системе их 10 (от 0 до 9), в двоичной — 2 (0 и 1), в шестнадцатеричной — 16 (0-9 и A-F, где A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).

Позиционная система означает, что значение цифры зависит от её позиции в числе. Например, в числе 345₁₀ цифра 3 означает 300 (3×10²), 4 — это 40 (4×10¹), а 5 — просто 5 (5×10⁰).

Основные системы счисления

Двоичная (binary, основание 2) — базовая система для компьютеров, использует только 0 и 1. Каждый разряд соответствует степени двойки.

Восьмеричная (octal, основание 8) — применяется в программировании для компактной записи двоичных чисел, использует цифры 0-7.

Десятичная (decimal, основание 10) — привычная нам система для повседневных вычислений.

Шестнадцатеричная (hexadecimal, основание 16) — используется для записи адресов памяти, цветов в веб-дизайне (например, #FF5733), машинного кода. Цифры: 0-9, A-F.

Как переводить из десятичной системы в другую

Алгоритм деления

Для перевода десятичного числа в систему с основанием N:

1. Делите число на N, записывайте остаток
2. Продолжайте делить частное на N
3. Записывайте остатки до тех пор, пока частное не станет 0
4. Прочитайте остатки в обратном порядке (снизу вверх)

Пример: переведём 156₁₀ в двоичную систему:

• 156 ÷ 2 = 78, остаток 0
• 78 ÷ 2 = 39, остаток 0
• 39 ÷ 2 = 19, остаток 1
• 19 ÷ 2 = 9, остаток 1
• 9 ÷ 2 = 4, остаток 1
• 4 ÷ 2 = 2, остаток 0
• 2 ÷ 2 = 1, остаток 0
• 1 ÷ 2 = 0, остаток 1

Результат: 10011100₂

Как переводить из любой системы в десятичную

Умножайте каждую цифру на основание системы в степени её позиции (справа налево, начиная с 0) и суммируйте.

Формула: число = c₀×N⁰ + c₁×N¹ + c₂×N² + … + cₙ×Nⁿ

где c — цифра, N — основание системы.

Пример 1: переведём 1A3₁₆ в десятичную:

1A3₁₆ = 3×16⁰ + 10×16¹ + 1×16² = 3×1 + 10×16 + 1×256 = 3 + 160 + 256 = 419₁₀

Пример 2: переведём 101101₂ в десятичную:

101101₂ = 1×2⁰ + 0×2¹ + 1×2² + 1×2³ + 0×2⁴ + 1×2⁵ = 1 + 0 + 4 + 8 + 0 + 32 = 45₁₀

Быстрые способы перевода между двоичной и шестнадцатеричной

Эти системы связаны соотношением 2⁴ = 16, поэтому можно использовать упрощённый метод.

Из двоичной в шестнадцатеричную

Разбейте двоичное число на группы по 4 бита справа налево (добавьте нули слева при необходимости), замените каждую группу на шестнадцатеричную цифру:

Таблица соответствия:

Пример: 110101111010₂ = 1101 0111 1010 = D7A₁₆

Из шестнадцатеричной в двоичную

Замените каждую hex-цифру на 4-битную двоичную группу:

Пример: 2F8₁₆ = 0010 1111 1000 = 001011111000₂ (ведущие нули можно опустить: 10111111000₂)

Перевод между восьмеричной и двоичной системами

Аналогично шестнадцатеричной, но группы по 3 бита (2³ = 8).

Из двоичной в восьмеричную: разбивайте по 3 бита справа налево.

Пример: 101110₂ = 101 110 = 56₈

Из восьмеричной в двоичную: каждую цифру замените 3 битами.

Пример: 37₈ = 011 111 = 11111₂

Практические примеры

Задача 1: перевести IP-адрес из десятичного представления в двоичное.

IP: 192.168.1.1

• 192₁₀ = 11000000₂
• 168₁₀ = 10101000₂
• 1₁₀ = 00000001₂

Результат: 11000000.10101000.00000001.00000001

Задача 2: перевести цвет #FF5733 в RGB (десятичные значения).

• FF₁₆ = 255₁₀ (красный)
• 57₁₆ = 87₁₀ (зелёный)
• 33₁₆ = 51₁₀ (синий)

RGB: (255, 87, 51)

Частые ошибки при переводе

1. Неправильный порядок остатков — при делении читайте результат снизу вверх, а не сверху вниз
2. Пропуск ведущих нулей в промежуточных группах при переводе между двоичной и шестнадцатеричной
3. Путаница с буквами в шестнадцатеричной системе (A=10, не 1 и не 0)
4. Неверные степени — помните, что позиции нумеруются справа налево с нуля

Проверка результата

Переведите полученное число обратно в исходную систему. Если результат совпадает с исходным числом — перевод выполнен правильно.

Для быстрой проверки используйте онлайн-калькулятор в верхней части страницы или калькулятор на компьютере в режиме программиста (Windows: Calculator → Programmer mode).

Советы и рекомендации

• Для перевода между произвольными системами (например, из восьмеричной в шестнадцатеричную) используйте десятичную как промежуточную
• Записывайте основание системы как индекс (subscript): 1010₂, 255₁₀, FF₁₆ — это избавит от путаницы
• В программировании используйте префиксы: 0b для двоичных (0b1010), 0x для шестнадцатеричных (0xFF)
• Учитывайте разрядность: для байта достаточно 8 бит (0-255₁₀), для 32-битного числа — 8 hex-цифр

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.