Как найти высоту треугольника

11 мая 2026 г.

Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Зная высоту и основание, можно сразу получить площадь, а в обратную сторону – зная площадь и основание, найти высоту. Ниже – все рабочие формулы с примерами.

Калькулятор высоты треугольника

Обратите внимание:

У треугольника три высоты. Этот калькулятор считает высоту к выбранному вами основанию (или по умолчанию по логике типа треугольника).

Как пользоваться?

Выберите, какие данные у вас есть в списке выше. Введите числа (точки или запятые) и нажмите «Рассчитать». Если треугольник построить невозможно (например, сумма двух сторон меньше третьей), вы увидите предупреждение.

Что такое высота треугольника

Высота треугольника – отрезок, проведённый из одной вершины перпендикулярно к противоположной стороне. Эта сторона называется основанием. У любого треугольника три высоты – по числу вершин. Каждая из них может лежать как внутри фигуры, так и вне её (у тупоугольных треугольников).

Связь высоты и площади выражается одной из базовых формул школьной геометрии:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$

где S – площадь, a – длина основания, h_a – высота, проведённая к этому основанию.

Как найти высоту треугольника через площадь и основание?

Если площадь и длина основания известны, высота находится перестановкой формулы:

$$h_a = \frac{2S}{a}$$

Пример. Площадь треугольника – 36 см², основание – 12 см:

$$h_a = \frac{2 \cdot 36}{12} = 6 \text{ см}$$

Это самый быстрый способ, когда площадь уже вычислена или дана в условии.

Формула высоты через три стороны (формула Герона)

Когда известны все три стороны a, b, c, площадь считают по формуле Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

где p – полупериметр: $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Подставляя в формулу высоты $h_a = \frac{2S}{a}$, получаем:

$$h_a = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$$

Пример. Стороны: a = 13, b = 14, c = 15. Найти высоту к стороне a.

Полупериметр: $p = \frac{13+14+15}{2} = 21$
Площадь: $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$
Высота: $h_a = \frac{2 \cdot 84}{13} = \frac{168}{13} \approx 12{,}92$

Высота прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике два катета уже являются взаимными высотами. Если известны оба катета a и b и гипотенуза c, то высота h, проведённая к гипотенузе, вычисляется так:

$$h = \frac{a \cdot b}{c}$$

Пример. Катеты: 6 и 8, гипотенуза – 10:

$$h = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4{,}8$$

Формула работает, потому что площадь прямоугольного треугольника одинаково выражается как $\frac{ab}{2}$ и как $\frac{ch}{2}$.

Высота равностороннего треугольника

Все стороны равны: a = b = c. Высота любой из них:

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 \cdot a$$

Пример. Сторона равностороннего треугольника – 10 см:

$$h = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66 \text{ см}$$

Формула выводится из теоремы Пифагора: высота делит основание пополам, образуя прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $\frac{a}{2}$ и гипотенузой $a$.

Высота равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике высота к основанию одновременно является медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам, поэтому:

$$h = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$$

где a – боковая сторона, b – основание.

Пример. Боковая сторона – 13, основание – 10:

$$h = \sqrt{13^2 - \frac{10^2}{4}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$

Высота к боковой стороне (не к основанию) считается иначе – через общие формулы (площадь или Герона).

Как найти высоту треугольника через тригонометрию?

Если известны две стороны и угол между ними, высоту можно найти напрямую:

$$h_b = a \cdot \sin C = c \cdot \sin A$$

Здесь h_b – высота к стороне b, a и c – прилежащие стороны, C и A – противоположные им углы.

Пример. Сторона a = 10, противоположный угол C = 30°:

$$h_b = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot 0{,}5 = 5$$

Этот метод удобен, когда в задаче фигурируют углы, а не все три стороны.

Сводная таблица формул высоты треугольника

Исходные данные	Формула
Площадь S и основание a	$h_a = \frac{2S}{a}$
Три стороны a, b, c	$h_a = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$
Прямоугольный: катеты a, b, гипотенуза c	$h = \frac{ab}{c}$
Равносторонний: сторона a	$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Равнобедренный: боковая a, основание b	$h = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$
Сторона a и противоположный угол α	$h = a \cdot \sin\alpha$

Пример решения задачи на высоту треугольника

Условие. Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 8. Найти все три высоты.

Решение.

Полупериметр: $p = \frac{5+7+8}{2} = 10$
Площадь по Герону: $S = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32$
Высота к стороне 5: $h_a = \frac{2 \cdot 10\sqrt{3}}{5} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$
Высота к стороне 7: $h_b = \frac{2 \cdot 10\sqrt{3}}{7} \approx 4{,}95$
Высота к стороне 8: $h_c = \frac{2 \cdot 10\sqrt{3}}{8} = 2{,}5\sqrt{3} \approx 4{,}33$

Площадь при проверке через любую пару «основание – высота» даёт одинаковое значение, что подтверждает правильность вычислений.

Часто задаваемые вопросы

Сколько высот у треугольника?

У любого треугольника ровно 3 высоты – по одной к каждой стороне. Все три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

Может ли высота треугольника лежать вне фигуры?

Да. В тупоугольном треугольнике две высоты падают на продолжения сторон и проходят снаружи фигуры. Ортоцентр в таком треугольнике тоже находится за пределами фигуры.

Всегда ли высота треугольника короче его сторон?

Нет. Высота может быть длиннее стороны, к которой она проведена. Например, в очень «вытянутом» треугольнике высота к короткому основанию может превышать длину этого основания. Однако высота всегда не длиннее двух других сторон.

Чем отличается высота от медианы треугольника?

Высота проведена из вершины перпендикулярно противоположной стороне, а медиана – из вершины к середине этой стороны. Высота может лежать вне треугольника, а медиана – всегда внутри.

Как найти высоту треугольника, если известны только две стороны и угол между ними?

Используйте формулу h = b · sin α, где b – сторона, лежащая на одной прямой с высотой от смежной вершины, а α – противолежащий угол. Подходит, когда угол и прилежащая сторона образуют прямоугольный треугольник с высотой.

Что такое ортоцентр треугольника?

Ортоцентр – точка пересечения всех трёх высот треугольника. В остроугольном треугольнике он лежит внутри, в прямоугольном – в вершине прямого угла, а в тупоугольном – за пределами фигуры.