Как найти угол в окружности

Найти угол в окружности можно по-разному в зависимости от того, какой именно тип угла перед вами и какие данные известны. Геометрия окружности строится на взаимосвязи между дугами, хордами и положением вершины угла относительно центра.

Информация носит справочный характер. При выполнении сложных инженерных расчетов опирайтесь на актуальные геометрические теоремы.

Центральный угол

Центральный угол – это угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны проходят через две точки на окружности.

Основное правило: центральный угол равен градусной мере дуги, которую он стягивает.

• Если дуга измеряется в 60°, то и центральный угол, опирающийся на нее, равен 60°.
• Если окружность разделена на равные части, центральный угол каждой части равен 360°, деленным на количество этих частей.

Вписанный угол

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит непосредственно на окружности, а стороны пересекают её.

Главная зависимость здесь определяется теоремой о вписанном угле: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же самую дугу.

То есть, если у вас есть вписанный угол и вы знаете центральный угол, опирающийся на ту же дугу, просто разделите центральный угол на два.

Важные свойства вписанных углов:

1. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, всегда равны – независимо от того, где именно на окружности расположена их вершина.
2. Вписанный угол, который опирается на диаметр (дугу 180°), всегда равен 90°. Это прямой угол.
3. Сумма вписанных углов, опирающихся на одну хорду с разных сторон, равна 180°, если они являются противоположными углами вписанного четырёхугольника.

Угол между хордами (внутри окружности)

Если две хорды пересекаются внутри окружности, образуется угол между ними. Этот угол находится как полусумма дуг, заключенных между сторонами этого угла и вертикальным к нему углом.

Формула: α = (Дуга 1 + Дуга 2) / 2

• Пример: Одна хорда отсекает дугу 40°, а другая, вертикальная ей, отсекает дугу 60°. Угол между хордами будет равен (40° + 60°) / 2 = 50°.

Угол между секущими (вне окружности)

Если две секущие пересекаются в точке за пределами окружности, угол при вершине (вне окружности) равен полуразности дуг, заключенных между сторонами угла.

Формула: α = (Большая дуга - Меньшая дуга) / 2

• Пример: Большая дуга между секущими составляет 100°, а меньшая – 30°. Угол вне окружности составит (100° - 30°) / 2 = 35°.

Угол между касательной и хордой

Угол, образованный касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, которую стягивает эта хорда внутри угла.

Фактически, этот угол подчиняется той же логике, что и обычный вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. Если дуга равна 80°, то угол между касательной и хордой будет равен 40°.