Как найти угол треугольника
В треугольнике с вершинами A, B, C стороны принято обозначать строчными буквами: a – напротив A, b – напротив B, c – напротив C. Когда известны длины всех трёх сторон, любой угол однозначно вычисляется по теореме косинусов. Это самый прямой способ найти, например, угол ABC или все три угла сразу.
Как найти угол треугольника по трём сторонам?
Ключевой инструмент – теорема косинусов. Она связывает квадрат одной стороны с квадратами двух других и косинусом угла между ними. Для угла γ (против стороны c) формула записывается так:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma \]Отсюда выражаем косинус:
\[ \cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]Зная косинус, находим величину угла через арккосинус:
\[ \gamma = \arccos\left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) \]Результат получается в радианах или в градусах – зависит от калькулятора. Чтобы перевести радианы в градусы, умножьте значение на \(180 / \pi\) (примерно 57,2958).
Пошаговый расчёт на примере
Возьмём стороны: a = 5, b = 7, c = 9. Найдём угол γ, лежащий напротив стороны c.
- Вычислите числитель: \( a^2 + b^2 - c^2 = 25 + 49 - 81 = -7\)
- Вычислите знаменатель: \( 2ab = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70\)
- Найдите косинус: \( \cos\gamma = -7 / 70 = -0{,}1\)
- Рассчитайте угол: \( \gamma = \arccos(-0{,}1) \).
В градусах это приблизительно 95,74°.
Отрицательный косинус сразу говорит, что угол тупой – больше 90°.
Как найти остальные углы
После вычисления первого угла можно применить теорему косинусов повторно для других пар сторон либо воспользоваться теоремой синусов. Для угла α (против стороны a) формула аналогична:
\[ \alpha = \arccos\left( \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \right) \]Третий угол β проще всего найти как дополнение до 180°:
\[ \beta = 180° - \alpha - \gamma \]Данные в примере актуальны на 2026 год и носят справочный характер.
Альтернативный метод через площадь и синус
Если по каким-то причинам неудобно использовать арккосинус, можно пойти через площадь. Сначала вычисляют площадь S по формуле Герона:
\( p = \frac{a + b + c}{2} \), затем \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \).
После этого для любого угла, например γ, используют выражение:
\[ S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma \quad\Rightarrow\quad \sin\gamma = \frac{2S}{ab} \]Угол γ находят через арксинус. Минус такого подхода в том, что арксинус даёт угол от 0° до 90°; если треугольник тупоугольный, потребуется дополнительная проверка (например, сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других). Поэтому в общем случае надёжнее пользоваться теоремой косинусов.
Частные случаи треугольников
- Прямоугольный треугольник. Если \( a^2 + b^2 = c^2 \) (сторона c – гипотенуза), то угол γ = 90°. Острые углы вычисляются как \( \alpha = \arcsin(a/c) \), \( \beta = \arcsin(b/c) \) или через тангенс.
- Равнобедренный треугольник. Если a = b, углы при основании равны, а угол при вершине γ против основания c рассчитывается по той же теореме косинусов.
- Равносторонний треугольник. Все углы по 60° без вычислений.
Когда нужной точности недостаточно
При работе с большими или очень маленькими числами ошибки округления могут исказить сумму углов. Рекомендуется оставлять в промежуточных выкладках не менее 4–5 знаков после запятой. Калькулятор выше выполняет расчёт с высокой точностью и сразу показывает результат в градусах.