Сумма геометрической прогрессии

Чтобы найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, используйте формулу:

Sₙ = b₁ × (qⁿ − 1) / (q − 1)

где b₁ – первый член прогрессии, q – знаменатель (частное двух соседних членов), n – количество складываемых членов. Для бесконечной убывающей прогрессии (при |q| < 1) сумма считается по формуле S = b₁ / (1 − q).

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число q (знаменатель). Примеры: 2, 6, 18, 54 (здесь q = 3) или 64, 32, 16, 8 (здесь q = 0,5).

Обозначения:

• b₁ – первый член прогрессии
• bₙ – n-й член прогрессии
• q – знаменатель прогрессии (bₙ₊₁ / bₙ)
• Sₙ – сумма первых n членов

Формула суммы конечной прогрессии

Для прогрессии с конечным числом членов работают две эквивалентные формы записи:

Sₙ = b₁ × (qⁿ − 1) / (q − 1)
или
Sₙ = b₁ × (1 − qⁿ) / (1 − q)

Обе формулы дают одинаковый результат. Используйте первую, если q > 1, и вторую, если 0 < q < 1 – так удобнее избежать отрицательных чисел в числителе и знаменателе.

Условия:

• Формулы справедливы только при q ≠ 1
• n – натуральное число (1, 2, 3…)

Пример расчёта суммы

Задача: Найдите сумму первых 5 членов прогрессии: 3, 6, 12, 24…

Решение:

1. Определяем параметры: b₁ = 3, q = 6/3 = 2, n = 5
2. Подставляем в формулу: S₅ = 3 × (2⁵ − 1) / (2 − 1)
3. Считаем степень: 2⁵ = 32
4. Вычисляем: 3 × (32 − 1) / 1 = 3 × 31 = 93

Проверка: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93. Результат совпадает.

Сумма бесконечной прогрессии

Если члены прогрессии убывают по модулю (|q| < 1), сумма всех бесконечного количества членов сходится к конечному числу:

S = b₁ / (1 − q)

Условие сходимости: −1 < q < 1 (q ≠ 0).

Пример: Найдите сумму бесконечной прогрессии: 1, 1/2, 1/4, 1/8…

• b₁ = 1, q = 1/2
• S = 1 / (1 − 0,5) = 1 / 0,5 = 2

Даже при бесконечном числе слагаемых результат не превысит 2.

Калькулятор выше позволяет рассчитать сумму для любых значений. Введите первый член прогрессии, знаменатель q и количество членов n. Для бесконечной прогрессии отметьте соответствующий режим – при |q| < 1 калькулятор применит формулу сходящегося ряда.

Частный случай: когда q = 1

Если знаменатель равен 1, все члены прогрессии одинаковы (b₁, b₁, b₁…). Формула через q не работает, так как знаменатель обращается в ноль.

Сумма в этом случае: Sₙ = n × b₁

Пример: 5, 5, 5, 5 (4 раза). S₄ = 4 × 5 = 20.

Вывод формулы (кратко)

Умножьте сумму Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ на q: q × Sₙ = b₂ + b₃ + … + bₙ₊₁

Вычтите из этого исходную сумму: qSₙ − Sₙ = bₙ₊₁ − b₁

Вынесите Sₙ и выразите bₙ₊₁ = b₁ × qⁿ: Sₙ × (q − 1) = b₁ × (qⁿ − 1)

Отсюда получаем итоговую формулу.

Важные нюансы при расчётах

• Проверяйте q: При q = 1 используйте упрощённую формулу n × b₁
• Знаки чисел: При отрицательном q сумма будет колебаться – знак результата зависит от чётности n
• Порядок действий: Сначала возведите q в степень n, только потом вычитайте 1
• Бесконечность: При |q| ≥ 1 сумма бесконечного ряда не существует (расходится)