Обновлено:

Как найти сторону треугольника

Найти сторону треугольника можно пятью основными способами – всё зависит от того, какие данные есть в задаче: две другие стороны и угол, площадь и высота, периметр или параметры прямо угла. Ниже – все формулы с пояснениями, когда какую применять.

Как найти сторону по двум сторонам и углу

Если известны две стороны и угол между ними, используйте теорему косинусов. Она универсальна и работает для любого типа треугольника.

Формула:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$$

Где:

  • $a$ и $b$ – известные стороны
  • $\gamma$ – угол между ними
  • $c$ – искомая третья сторона

Пример: даны стороны 5 см и 7 см, угол между ними 60°.
Сначала найдите косинус: $\cos(60^{\circ}) = 0{,}5$.
Затем подставьте в формулу: $c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 0{,}5 = 74 - 35 = 39$.
Искомая сторона: $c = \sqrt{39} \approx 6{,}24$ см.

Как найти сторону по стороне и двум углам

Когда известна одна сторона и два прилежащих к ней угла (или один прилежащий и один противолежащий), применяется теорема синусов:

$$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R$$

Где $R$ – радиус описанной окружности.

Чтобы найти неизвестную сторону $a$, если известна сторона $b$ и углы $\alpha$ и $\beta$:

$$a = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$$

Как найти сторону в прямоугольном треугольнике

Для треугольника с углом 90° используйте теорему Пифагора – она проще косинусовой.

Чтобы найти гипотенузу $c$ по катетам $a$ и $b$:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Чтобы найти катет, если известна гипотенуза и другой катет:

$$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$

Частный случай: треугольник со сторонами 30°-60°-90°. Сторона, противолежащая 30°, равна половине гипотенузы.

Как найти сторону равнобедренного треугольника

У равнобедренного треугольника две стороны (боковые) равны. Способ зависит от того, что дано:

  • Известны периметр и основание: боковая сторона $a = (P - b) / 2$, где $b$ – основание, $P$ – периметр.
  • Известна боковая сторона и периметр: основание $b = P - 2a$.
  • Известны основание и высота к нему: боковая сторона находится через теорему Пифагора для половинки основания: $a = \sqrt{(b/2)^2 + h^2}$.

Как найти сторону равностороннего треугольника

Все стороны равны, поэтому расчёт максимально прост:

  • Через периметр: $a = P / 3$
  • Через высоту: $a = \frac{2h}{\sqrt{3}} \approx 1{,}155 \cdot h$
  • Через площадь: $a = \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}} \approx \sqrt{2{,}31 \cdot S}$

Как найти сторону через площадь

Если известны площадь $S$ и высота $h$, опущенная на искомую сторону:

$$a = \frac{2S}{h}$$

Для прямоугольного треугольника можно использовать формулу через катеты: $S = \frac{1}{2}ab$, откуда искомый катет $a = \frac{2S}{b}$.

Что известно?
Данные для теоремы косинусов
Ищем сторону c, противолежащую углу γ.

Таблица: какую формулу выбрать

Известные данныеФормулаТип треугольника
Две стороны и угол между нимиТеорема косинусовЛюбой
Сторона и два углаТеорема синусовЛюбой
Два катета$c = \sqrt{a^2 + b^2}$Прямоугольный
Гипотенуза и катет$a = \sqrt{c^2 - b^2}$Прямоугольный
Периметр и две стороны$a = P - b - c$Любой
Площадь и высота$a = 2S/h$Любой
Периметр$a = P/3$Равносторонний

В расчётах используйте значения углов в градусах. При вычислениях с дробями округляйте до сотых только на финальном шаге, чтобы избежать накопления погрешностей.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти сторону треугольника, зная только два угла?

Нет. Два угла определяют форму треугольника, но не его размер. Для расчёта длины нужна хотя бы одна сторона – иначе можно найти только отношение сторон, а не абсолютные значения.

Как найти третью сторону прямоугольного треугольника по двум катетам?

Воспользуйтесь теоремой Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Извлеките квадратный корень из суммы квадратов известных сторон.

Чем отличается применение теоремы синусов от теоремы косинусов?

Теорема косинусов работает, когда известны две стороны и угол между ними или три стороны. Теорема синусов нужна, когда даны одна сторона и два угла, или две стороны и угол, не лежащий между ними.

Как найти сторону равностороннего треугольника через периметр?

Разделите периметр на 3. Так как все стороны равны, формула простая: a = P / 3, где P – периметр, a – искомая сторона.

Можно ли вычислить сторону, если известны только три угла?

Нельзя. Три угла задают подобный класс треугольников, но не конкретные длины. Чтобы получить числовое значение стороны, необходим хотя бы один линейный параметр – сторона, высота или периметр.

  1. Измерь стороны треугольников: формулы и расчёт
  2. Как найти сторону AC треугольника ABC
  3. Как найти сторону AC в треугольнике ABC: формулы и примеры
  4. Как считать длины треугольника: формулы и расчёт
  5. Найти боковую сторону CD трапеции – формулы и расчёт
  6. Даны вершины треугольника: найдите угол – формулы и примеры