Как найти сторону треугольника, описанного около окружности

Чтобы найти сторону треугольника, описанного около окружности, опираются на два ключевых подхода: используют равенство касательных отрезков, проведённых из каждой вершины к точкам касания, либо применяют формулы, связывающие длину стороны с радиусом вписанной окружности и прилежащими углами. Оба метода разобраны ниже с примерами.

Что такое описанный треугольник

Треугольник, описанный около окружности, – это треугольник, все стороны которого касаются одной окружности. Сама окружность в этом случае называется вписанной. Точки касания делят каждую сторону на два отрезка, а центр окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Как вычислить сторону, используя равенство касательных

Из любой вершины описанного треугольника к вписанной окружности можно провести два касательных отрезка. Эти отрезки равны между собой.

Обозначим точки касания на сторонах:
на AB – точка K, на BC – точка L, на AC – точка M.
Вершина A даёт отрезки AK и AM, причём AK = AM.
Вершина B даёт BK и BL, причём BK = BL.
Вершина C даёт CL и CM, причём CL = CM.

Введём переменные:

• x = AK = AM (длина касательного отрезка из вершины A);
• y = BK = BL (из вершины B);
• z = CL = CM (из вершины C).

Тогда стороны выражаются как суммы касательных отрезков:

• AB = x + y;
• BC = y + z;
• AC = x + z.

Таким образом, зная любые два касательных отрезка, прилежащих к стороне, вы сразу получаете её длину. Например, если известно, что AK = 5 см и BK = 4 см, то AB = 5 + 4 = 9 см.

Связь касательных отрезков с полупериметром

Для любого треугольника с полупериметром p = (a + b + c) / 2 справедливы равенства:

• x = p − a,
• y = p − b,
• z = p − c.

Тогда сторону a (напротив вершины A) можно записать так:
a = y + z = (p − b) + (p − c) = 2p − b − c.

Эта формула удобна, когда известен периметр (или полупериметр) и две другие стороны, а также когда в задаче даны именно касательные отрезки через p.

Как найти сторону по радиусу вписанной окружности и углам

Если известен радиус вписанной окружности r и углы треугольника, используют тригонометрическую связь. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром вписанной окружности O, точкой касания на стороне AC и вершиной A. В нём:

• ∠OAM = A/2 (центр лежит на биссектрисе),
• AM = x,
• OM = r.

Тогда tg(A/2) = r / x, откуда
x = r / tg(A/2) = r · ctg(A/2).

Аналогично для других вершин:
y = r · ctg(B/2), z = r · ctg(C/2).

Тогда любая сторона, например BC = a, вычисляется как сумма y + z:
a = r · (ctg(B/2) + ctg(C/2)).

Эта формула позволяет найти сторону, зная только радиус вписанной окружности и два прилежащих угла.

Калькулятор выше рассчитывает длину стороны по тем же правилам: достаточно ввести радиус и два угла, лежащих на концах искомой стороны.

Примеры задач

1. По известным касательным отрезкам

В треугольнике ABC вписанная окружность касается AB в точке K, BC – в точке L, AC – в точке M. Дано: AK = 4 см, KB = 5 см, LC = 6 см. Найдите все стороны.

Решение:
AK = AM = 4 см (отрезки из A).
KB = BL = 5 см (отрезки из B).
LC = CM = 6 см (отрезки из C).

Тогда:

• AB = AK + KB = 4 + 5 = 9 см,
• BC = BL + LC = 5 + 6 = 11 см,
• AC = AM + CM = 4 + 6 = 10 см.

2. По радиусу и двум углам

Радиус вписанной в треугольник ABC окружности r = 3 см, угол A = 50°, угол B = 60°. Найдите сторону AB.

Решение:
Сначала находим угол C = 180° − (50° + 60°) = 70°.
Сторона AB = x + y = r · (ctg(A/2) + ctg(B/2)) = 3 · (ctg 25° + ctg 30°).
ctg 25° ≈ 2,1445, ctg 30° ≈ 1,7320.
Сумма = 3,8765, AB ≈ 3 · 3,8765 = 11,63 см.

Распространённые ошибки

• Путают касательные отрезки: BL и BK равны не всегда; из B равны BK и BL, а BK не равен CL.
• Забывают, что в формуле a = r(ctg(B/2)+ctg(C/2)) радиус умножается на сумму котангенсов именно половинных углов.
• При известных двух сторонах и радиусе пытаются найти третью без учёта полупериметра – проще использовать S = p · r и формулу Герона, но это требует дополнительных вычислений.