Как найти сторону треугольника

Чтобы найти неизвестную сторону треугольника, когда известны некоторые его элементы, нужно выбрать подходящую формулу. Ключевых ситуаций три: известны две стороны и угол между ними; известна одна сторона и два угла; треугольник прямоугольный и к нему применима теорема Пифагора. Ниже – все способы с примерами и точными формулами.

Онлайн-калькулятор стороны треугольника

Калькулятор выше рассчитывает неизвестную сторону по двум вариантам исходных данных. В первом варианте вы вводите две стороны и угол между ними – на выходе получаете третью сторону и остальные углы. Во втором варианте задаёте одну сторону и два прилежащих угла, а калькулятор вычисляет две оставшиеся стороны. В основе лежат теоремы косинусов и синусов, разобранные далее.

Как найти сторону по двум сторонам и углу между ними?

Если известны длины b и c и угол α между ними, сторону a вычисляют по теореме косинусов:

a² = b² + c² − 2·b·c·cos α

Этот метод подходит для любых треугольников – остроугольных, прямоугольных и тупоугольных. Угол обязательно должен быть заключён между двумя известными сторонами.

Пример:
b = 8 см, c = 6 см, угол между ними α = 50°.
Сторона a = √(8² + 6² − 2·8·6·cos 50°) ≈ √(64 + 36 − 96·0,6428) ≈ √(100 − 61,71) ≈ √38,29 ≈ 6,19 см.

Если же известны все три стороны и нужно найти угол, достаточно выразить косинус:

cos α = (b² + c² − a²) / (2·b·c)

Как вычислить сторону по стороне и двум углам?

Когда дана одна сторона и два угла, используют теорему синусов. Она связывает длины сторон с синусами противолежащих углов:

a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Чтобы найти неизвестную сторону, например b, зная сторону a и углы α (противоположный стороне a) и β (противоположный искомой b), формула будет:

b = a · sin β / sin α

Пример:
Известна сторона a = 10 см, угол α = 40°, угол β = 70°.
b = 10 · sin 70° / sin 40° ≈ 10 · 0,9397 / 0,6428 ≈ 14,62 см.
Третий угол γ = 180° − 40° − 70° = 70°, значит сторона c = a · sin γ / sin α = 14,62 см (треугольник равнобедренный).

Как рассчитать сторону в прямоугольном треугольнике?

Прямоугольный треугольник даёт сразу два дополнительных инструмента.

1. Теорема Пифагора – если известны два катета или катет и гипотенуза:

   • c² = a² + b² (гипотенуза),
   • a = √(c² − b²) (катет).

   Пример: катет a = 3 см, гипотенуза c = 5 см. Второй катет b = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = 4 см.

2. Тригонометрические функции – когда известен один катет и прилежащий или противолежащий острый угол:

   • Гипотенуза = катет / cos(прилежащего угла) = катет / sin(противолежащего угла).
   • Другой катет = катет · tg(прилежащего угла) = катет / tg(противолежащего угла).

   Пример: катет = 6 см, прилежащий угол = 30°. Гипотенуза = 6 / cos 30° ≈ 6 / 0,8660 ≈ 6,93 см. Противолежащий катет = 6 · tg 30° ≈ 6 · 0,5774 = 3,46 см.

Как определить сторону через площадь и высоту?

Если известны площадь S и высота h, проведённая к искомой стороне, длину этой стороны находят из формулы площади:

a = 2·S / h

Это прямое следствие равенства S = ½·a·h. Способ удобен, когда высота дана или её легко вычислить из других соображений, например в равнобедренном треугольнике.

Пример: площадь S = 24 см², высота к стороне a равна 6 см. Тогда a = 2·24 / 6 = 8 см.

Если же известны две стороны и площадь, можно найти угол между ними, а затем – третью сторону (см. раздел с теоремой косинусов). Из S = ½·b·c·sin α получаем sin α = 2S / (b·c), находим α и применяем теорему косинусов.

Особые случаи: равносторонний и равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник (все стороны равны, углы по 60°):

• Если известен периметр P, сторона a = P / 3.
• Если дана площадь S, сторона a = √(4S / √3). Например, при S ≈ 43,3 см² a = √(4·43,3 / 1,732) ≈ √100 = 10 см.
• Высота h = a·√3 / 2, поэтому a = 2h / √3.

Равнобедренный треугольник (две стороны равны):

• Если известны основание b и угол при вершине β, боковая сторона a = b / (2·sin(β/2)).
• Если даны боковая сторона a и угол при основании α, основание b = 2·a·cos α.

Во всех случаях достаточно свести задачу к одному из универсальных методов – теореме синусов или косинусов.