Как найти сторону AB

14 мая 2026 г.

В задаче «найти сторону AB» всё определяется тем, что известно: тип треугольника, другие стороны, углы или координаты вершин. Ниже – все основные методы с формулами и числовыми примерами.

Выберите метод расчёта

Тип треугольника

Сторона AC / BC 1

Сторона BC / AC 2

Калькулятор выше вычисляет AB по выбранному методу: теорема Пифагора, теорема косинусов, теорема синусов, формула расстояния или площадь и высота. Укажите известные данные – результат пересчитывается автоматически.

Теорема Пифагора: AB в прямоугольном треугольнике

Метод применяется только когда один из углов треугольника равен 90°.

AB – гипотенуза (прямой угол при вершине C):

$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$

Пример. AC = 3, BC = 4 → AB = √(9 + 16) = √25 = 5.

AB – катет (прямой угол при вершине B, BC – гипотенуза):

$$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$$

Через тригонометрические функции:

Что известно	Формула для AB
Гипотенуза BC и угол A	AB = BC · sin(∠A)
Гипотенуза BC и угол B	AB = BC · cos(∠B)
Катет AC и угол A	AB = AC · tg(∠A)

Теорема косинусов: AB по двум сторонам и углу между ними

Работает для любого треугольника. Нужны стороны AC, BC и угол C между ними:

$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)}$$

Пример. AC = 5, BC = 7, ∠C = 60° → AB = √(25 + 49 − 2·5·7·0,5) = √(74 − 35) = √39 ≈ 6,24.

При ∠C = 90° формула превращается в теорему Пифагора: cos(90°) = 0, слагаемое обнуляется.

Если известны все три стороны, тот же закон позволяет найти любой угол – и затем применить другой метод.

Как найти сторону AB через теорему синусов?

Теорема синусов связывает каждую сторону с противолежащим углом:

$$\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$$

Из этого соотношения:

$$AB = \frac{BC \cdot \sin(\angle C)}{\sin(\angle A)} \quad \text{или} \quad AB = \frac{AC \cdot \sin(\angle C)}{\sin(\angle B)}$$

Пример. BC = 8, ∠C = 45°, ∠A = 30° → AB = 8 · sin(45°) / sin(30°) = 8 · 0,707 / 0,5 ≈ 11,31.

Метод удобен, когда известны одна сторона и два угла. Третий угол всегда вычисляется из условия: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Формула расстояния: AB по координатам точек

Если вершины заданы координатами A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) на плоскости:

$$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Пример. A(1; 2), B(5; 6) → AB = √((5−1)² + (6−2)²) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5,66.

В трёхмерном пространстве для точек A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂) добавляется третья координата:

$$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Как найти AB через площадь и высоту?

Площадь треугольника выражается через основание AB и высоту h, опущенную на него:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \quad \Rightarrow \quad AB = \frac{2S}{h}$$

Пример. S = 30, h = 5 → AB = 2·30 / 5 = 12.

Площадь можно найти предварительно – через формулу Герона, если известны все три стороны:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a + b + c}{2}$$

Частные случаи: равнобедренный и равносторонний треугольник

Равнобедренный треугольник (AC = BC = a)

Через угол при вершине C: AB = 2a · sin(∠C / 2)
Через высоту h из C на AB: AB = 2 · √(a² − h²)
Через угол при основании α (∠BAC = ∠ABC = α): AB = 2a · cos(α)

Пример. a = 10, ∠C = 120° → AB = 2·10·sin(60°) = 20·0,866 ≈ 17,32.

Равносторонний треугольник

Все стороны равны: AB = AC = BC = a. Если известна только высота h:

$$AB = \frac{2h}{\sqrt{3}} \approx 1{,}155 \cdot h$$

Таблица методов

Что дано	Метод	Формула
Прямой угол, два катета	Теорема Пифагора	AB = √(AC² + BC²)
Две стороны и угол между ними	Теорема косинусов	AB = √(AC² + BC² − 2·AC·BC·cos C)
Сторона и два угла	Теорема синусов	AB = BC·sin C / sin A
Координаты A и B	Формула расстояния	AB = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
Площадь и высота на AB	Из формулы площади	AB = 2S / h
Периметр и две стороны	Вычитание	AB = P − AC − BC

Часто задаваемые вопросы

Какие минимальные данные нужны, чтобы найти AB?

Нужны три независимых элемента треугольника, среди которых есть хотя бы одна линейная величина: сторона, высота, периметр или площадь. Только три угла не дают размер треугольника – AB вычислить невозможно.

Можно ли найти AB, зная только три угла треугольника?

Нет. Три угла определяют форму треугольника, но не размер. Без хотя бы одной стороны, высоты или площади найти AB невозможно – треугольников с одинаковыми углами, но разными сторонами бесконечно много.

Как найти AB в прямоугольном треугольнике, если AB – катет, а не гипотенуза?

По теореме Пифагора: AB = √(BC² − AC²), где BC – гипотенуза, AC – второй катет. Через тригонометрию: AB = BC · sin(∠ABC) или AB = AC · tg(∠BAC).

Как найти AB через медиану?

Если m – медиана из вершины C на AB, а стороны AC и BC известны: AB = 2·√((AC² + BC²)/2 − m²). Формула следует из выражения медианы треугольника через его стороны.

Что делать, если известны периметр и две другие стороны?

AB = P − AC − BC, где P – периметр. Это простейший случай: вычтите из периметра сумму двух известных сторон.

Как найти AB, если дана площадь треугольника и угол между сторонами AC и BC?

Используйте формулу площади S = ½·AC·BC·sin(∠C). Отсюда выразите, например, BC, затем примените теорему косинусов. Прямого выражения AB через S и один угол без дополнительных данных нет.