Как найти скалярное произведение векторов

Под запросом «скалярный вектор» почти всегда подразумевается скалярное произведение векторов – одна из ключевых операций векторной алгебры. Результат этой операции – обычное число (скаляр), а не вектор. Ниже мы разберём, как его найти двумя основными способами, и приведём конкретные примеры.

Как вычислить скалярное произведение векторов по координатам

Это самый прямой и часто используемый метод. Если векторы заданы в прямоугольной системе координат, формула предельно проста:

Для плоскости: a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂)
a · b = x₁·x₂ + y₁·y₂

Для трёхмерного пространства: a = (x₁, y₁, z₁), b = (x₂, y₂, z₂)
a · b = x₁·x₂ + y₁·y₂ + z₁·z₂

То есть нужно перемножить соответствующие координаты и сложить полученные произведения. Никаких модулей или углов на этом этапе не требуется.

Онлайн-калькулятор выше рассчитывает скалярное произведение по введённым координатам двух или трёхмерных векторов – достаточно задать значения компонент.

Формула через длины и угол между векторами

Когда координаты неизвестны, но известны длины векторов и угол между ними, используют другое эквивалентное определение:

a · b = |a| · |b| · cos(α)

где |a| и |b| – длины (модули) векторов, α – угол между ними.

Отсюда сразу видны важные частные случаи:

• Если векторы сонаправлены (α = 0°), cos(α) = 1, и произведение равно просто произведению длин.
• Если векторы перпендикулярны (α = 90°), cos(α) = 0, и скалярное произведение равно нулю.
• Если угол тупой (α > 90°), cos(α) отрицателен, и результат будет отрицательным числом.

Примеры расчёта скалярного произведения

Пример 1. По координатам (плоскость).
Даны векторы a = (3, -2) и b = (1, 4).
a · b = 3·1 + (-2)·4 = 3 - 8 = -5.
Отрицательный результат говорит о том, что угол между векторами больше 90°.

Пример 2. По координатам (пространство).
a = (2, -1, 5), b = (0, 3, -4).
a · b = 2·0 + (-1)·3 + 5·(-4) = 0 - 3 - 20 = -23.

Пример 3. Через длины и угол.
|a| = 5, |b| = 4, угол α = 60°.
cos 60° = 0,5.
a · b = 5·4·0,5 = 10.

Пример 4. Проверка перпендикулярности.
a = (1, 2, 3), b = (-2, 1, 0).
a · b = 1·(-2) + 2·1 + 3·0 = -2 + 2 + 0 = 0 → векторы перпендикулярны.

Свойства скалярного произведения

Эти свойства помогают быстрее считать и упрощать выражения:

• Коммутативность: a · b = b · a.
• Дистрибутивность: a · (b + c) = a · b + a · c.
• Сочетательность со скаляром: (k·a) · b = k·(a · b).
• Квадрат вектора: a · a = |a|².
• При перестановке координат результат не меняется, если не нарушено соответствие компонент.

Где применяется скалярное произведение

• Физика: работа силы A = F · s (сила на перемещение), мощность, поток.
• Геометрия: вычисление углов между прямыми, проверка ортогональности, нахождение проекций.
• Компьютерная графика и машинное обучение: расчёт косинусной близости, определение ориентации объектов.
• Инженерные расчёты: анализ напряжений, моментов, направляющих косинусов.

Если вы знаете координаты векторов или их длины и угол, то найти скалярный вектор (скалярное произведение) не составит труда – все необходимые формулы разобраны выше.