Как найти скалярное произведение векторов

Обновлено 14 мая 2026 г.

Под запросом «скалярный вектор» почти всегда подразумевается скалярное произведение векторов – одна из ключевых операций векторной алгебры. Результат этой операции – обычное число (скаляр), а не вектор. Ниже мы разберём, как его найти двумя основными способами, и приведём конкретные примеры.

Как вычислить скалярное произведение векторов по координатам

Это самый прямой и часто используемый метод. Если векторы заданы в прямоугольной системе координат, формула предельно проста:

Для плоскости: a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂)
a · b = x₁·x₂ + y₁·y₂

Для трёхмерного пространства: a = (x₁, y₁, z₁), b = (x₂, y₂, z₂)
a · b = x₁·x₂ + y₁·y₂ + z₁·z₂

То есть нужно перемножить соответствующие координаты и сложить полученные произведения. Никаких модулей или углов на этом этапе не требуется.

Онлайн-калькулятор выше рассчитывает скалярное произведение по введённым координатам двух или трёхмерных векторов – достаточно задать значения компонент.

Формула через длины и угол между векторами

Когда координаты неизвестны, но известны длины векторов и угол между ними, используют другое эквивалентное определение:

a · b = |a| · |b| · cos(α)

где |a| и |b| – длины (модули) векторов, α – угол между ними.

Отсюда сразу видны важные частные случаи:

Если векторы сонаправлены (α = 0°), cos(α) = 1, и произведение равно просто произведению длин.
Если векторы перпендикулярны (α = 90°), cos(α) = 0, и скалярное произведение равно нулю.
Если угол тупой (α > 90°), cos(α) отрицателен, и результат будет отрицательным числом.

Примеры расчёта скалярного произведения

Пример 1. По координатам (плоскость).
Даны векторы a = (3, -2) и b = (1, 4).
a · b = 3·1 + (-2)·4 = 3 - 8 = -5.
Отрицательный результат говорит о том, что угол между векторами больше 90°.

Пример 2. По координатам (пространство).
a = (2, -1, 5), b = (0, 3, -4).
a · b = 2·0 + (-1)·3 + 5·(-4) = 0 - 3 - 20 = -23.

Пример 3. Через длины и угол.
|a| = 5, |b| = 4, угол α = 60°.
cos 60° = 0,5.
a · b = 5·4·0,5 = 10.

Пример 4. Проверка перпендикулярности.
a = (1, 2, 3), b = (-2, 1, 0).
a · b = 1·(-2) + 2·1 + 3·0 = -2 + 2 + 0 = 0 → векторы перпендикулярны.

Свойства скалярного произведения

Эти свойства помогают быстрее считать и упрощать выражения:

Коммутативность: a · b = b · a.
Дистрибутивность: a · (b + c) = a · b + a · c.
Сочетательность со скаляром: (k·a) · b = k·(a · b).
Квадрат вектора: a · a = |a|².
При перестановке координат результат не меняется, если не нарушено соответствие компонент.

Где применяется скалярное произведение

Физика: работа силы A = F · s (сила на перемещение), мощность, поток.
Геометрия: вычисление углов между прямыми, проверка ортогональности, нахождение проекций.
Компьютерная графика и машинное обучение: расчёт косинусной близости, определение ориентации объектов.
Инженерные расчёты: анализ напряжений, моментов, направляющих косинусов.

Если вы знаете координаты векторов или их длины и угол, то найти скалярный вектор (скалярное произведение) не составит труда – все необходимые формулы разобраны выше.

Часто задаваемые вопросы

Чем скалярное произведение отличается от векторного?

Скалярное произведение даёт число (скаляр), а векторное – новый вектор, перпендикулярный исходным. Скалярное используется для расчёта углов и проекций, векторное – для определения площадей и моментов.

Может ли скалярное произведение быть отрицательным?

Да, если угол между векторами больше 90°. Отрицательное значение показывает, что векторы направлены в противоположные стороны относительно друг друга.

Как проверить, что векторы перпендикулярны?

Вычислите их скалярное произведение. Если результат равен нулю, векторы ортогональны (угол 90°). Это работает для любых векторов на плоскости и в пространстве.

Как найти угол между векторами через скалярное произведение?

Используйте формулу cos α = (a·b) / (|a|·|b|), где a·b – скалярное произведение, |a| и |b| – длины векторов. Затем найдите арккосинус полученного значения.

В чём геометрический смысл скалярного произведения?

Это число равно произведению длины одного вектора на длину проекции другого вектора на него. По сути, показывает, насколько один вектор “вытянут” вдоль направления другого.

Как считать скалярное произведение в пространстве?

Точно так же, как на плоскости: если векторы a = (x₁, y₁, z₁) и b = (x₂, y₂, z₂), то a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Добавляется только координата z.