Как найти произведение векторов

12 мая 2026 г.

Векторная алгебра предлагает три способа умножения векторов. Выбор метода зависит от того, что именно нужно получить: число, новый вектор или объем геометрического тела. Ниже разобраны основные формулы и алгоритмы для работы с векторами в трехмерном пространстве (x, y, z).

Параметры векторов

Введите координаты векторов для выполнения операций.

Вектор A (x, y, z)

Вектор B (x, y, z)

Вектор C (x, y, z) для смешанного

Информация носит ознакомительный характер и основана на классических методах векторной алгебры.

Для примера будем использовать два вектора: $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\}$.

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение – это операция, которая превращает два вектора в число. Оно показывает, насколько векторы «смотрят» в одном направлении.

Формулы

Существует два способа вычисления:

Через координаты:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z$$
Через длины и угол:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\phi$$
где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ – длины векторов, а $\phi$ – угол между ними.

Когда использовать

Для нахождения угла между векторами: $\cos\phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.
Чтобы проверить перпендикулярность: если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, векторы перпендикулярны.
Для определения проекции одного вектора на другой.

Векторное произведение

Векторное произведение применяется только в трехмерном пространстве. Результатом операции является новый вектор $\vec{c}$, который перпендикулярен плоскости, образованной исходными векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Формула через определитель

Удобнее всего считать векторное произведение через определитель матрицы 3×3:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$$

Раскрытие этого определителя дает компоненты результирующего вектора:

$$\vec{c} = (a_y b_z - a_z b_y) \cdot \mathbf{i} - (a_x b_z - a_z b_x) \cdot \mathbf{j} + (a_x b_y - a_y b_x) \cdot \mathbf{k}$$

Геометрический смысл

Модуль векторного произведения $|\vec{a} \times \vec{b}|$ численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Это свойство активно используется в задачах на вычисление площадей треугольников в пространстве, так как площадь треугольника – ровно половина площади параллелограмма.

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение – это последовательное выполнение скалярного и векторного умножения для трех векторов: $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Обозначается как $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$.

Как найти

Вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих трех векторов:

$$(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$$

Алгоритм расчета определителя 3×3:

$$a_x(b_y c_z - b_z c_y) - a_y(b_x c_z - b_z c_x) + a_z(b_x c_y - b_y c_x)$$

Применение

Основная задача смешанного произведения – проверка компланарности (лежат ли векторы в одной плоскости) и расчет объемов:

Если результат равен 0, векторы компланарны.
Абсолютное значение результата равно объему параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Часто задаваемые вопросы

В чем ключевое различие скалярного и векторного произведения?

Результатом скалярного произведения всегда является число (скаляр), которое показывает степень сонаправленности векторов. Результатом векторного произведения является новый вектор, перпендикулярный обоим исходным, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Как понять, что векторы перпендикулярны?

Проверьте их скалярное произведение: если результат равен нулю, значит угол между векторами составляет 90 градусов. Этот метод работает для векторов любой размерности в евклидовом пространстве.

Можно ли вычислить векторное произведение для векторов на плоскости?

Стандартное векторное произведение определено только для трехмерного пространства (R³). Для векторов на плоскости (R²) обычно рассматривают их как трехмерные с нулевой третьей координатой (z=0).

Что показывает смешанное произведение векторов?

Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов численно равна объему параллелепипеда, построенного на этих трех векторах. Если результат равен нулю, векторы компланарны (лежат в одной плоскости).

Результаты вычислений