Как найти прогрессию

Прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый следующий член связан с предыдущим по определённому правилу. Два основных вида: арифметическая (прибавляем одно и то же число) и геометрическая (умножаем на одно и то же число). Зная формулы, можно найти любой член, сумму и параметры прогрессии за секунды.

Что такое арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия – последовательность, в которой разность между соседними членами постоянна. Эту разность обозначают d.

Пример: 3, 7, 11, 15, 19 – арифметическая прогрессия с разностью d = 4.

Основные обозначения:

• a₁ – первый член
• d – разность (на сколько каждый член больше предыдущего)
• n – номер члена
• aₙ – n-й член
• Sₙ – сумма первых n членов

Как найти n-й член арифметической прогрессии

Формула n-го члена:

aₙ = a₁ + (n − 1) · d

Пример: найдём 20-й член прогрессии, где a₁ = 5, d = 3.

a₂₀ = 5 + (20 − 1) · 3 = 5 + 57 = 62

Как найти сумму арифметической прогрессии

Две формулы для суммы первых n членов:

Через первый и последний член:

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2

Через первый член и разность:

Sₙ = (2a₁ + (n − 1) · d) · n / 2

Пример: найдём сумму первых 15 членов прогрессии 2, 5, 8, 11, …

a₁ = 2, d = 3, n = 15

S₁₅ = (2 · 2 + (15 − 1) · 3) · 15 / 2 = (4 + 42) · 15 / 2 = 46 · 15 / 2 = 345

Как найти разность арифметической прогрессии

Три способа:

1. Из двух соседних членов: d = aₙ₊₁ − aₙ
2. Из двух любых членов: d = (aₘ − aₖ) / (m − k)
3. Из суммы и первого члена: d = (2Sₙ / n − 2a₁) / (n − 1)

Пример: a₅ = 23, a₁₁ = 47. Найти d.

d = (47 − 23) / (11 − 5) = 24 / 6 = 4

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия – последовательность, в которой отношение каждого члена к предыдущему постоянно. Это отношение называют знаменателем и обозначают q.

Пример: 2, 6, 18, 54, 162 – геометрическая прогрессия со знаменателем q = 3.

Частные случаи:

• q > 1 – возрастающая прогрессия
• 0 < q < 1 – убывающая прогрессия
• q < 0 – знакочередующаяся прогрессия
• q = 1 – все члены равны a₁

Как найти n-й член геометрической прогрессии

Формула n-го члена:

bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

Пример: найдём 7-й член прогрессии, где b₁ = 3, q = 2.

b₇ = 3 · 2⁶ = 3 · 64 = 192

Как найти сумму геометрической прогрессии

Для конечной прогрессии (q ≠ 1):

Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1)

Альтернативная форма для |q| < 1:

Sₙ = b₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q)

Пример: найдём сумму первых 6 членов прогрессии 1, 2, 4, 8, …

b₁ = 1, q = 2, n = 6

S₆ = 1 · (2⁶ − 1) / (2 − 1) = (64 − 1) / 1 = 63

Как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Если |q| < 1, прогрессия называется бесконечно убывающей. Сумма всех её членов:

S = b₁ / (1 − q)

Пример: 8, 4, 2, 1, 0.5, … Сумма равна:

S = 8 / (1 − 0,5) = 8 / 0,5 = 16

Как найти знаменатель геометрической прогрессии

Способы определения q:

1. Из двух соседних членов: q = bₙ₊₁ / bₙ
2. Из двух любых членов: q = (bₘ / bₖ)^(1/(m−k))
3. Из суммы: q вычисляется из формулы суммы, решая уравнение

Пример: b₃ = 18, b₆ = 486. Найти q.

q = (486 / 18)^(1/(6−3)) = 27^(1/3) = 3

Как определить тип прогрессии по последовательности

Проверка на арифметическую прогрессию: вычислите разности всех соседних пар. Все разности равны одному числу – это арифметическая прогрессия.

Проверка на геометрическую прогрессию: вычислите отношения всех соседних пар (последующий / предыдущий). Все отношения равны – это геометрическая прогрессия.

Последовательность 10, 7, 4, 1:

• Разности: −3, −3, −3 – арифметическая прогрессия с d = −3

Последовательность 5, 15, 45, 135:

• Отношения: 3, 3, 3 – геометрическая прогрессия с q = 3

Сводная таблица формул прогрессий

Формулы прогрессий входят в программу алгебры 9 класса и проверяются на ОГЭ и ЕГЭ по математике.