Как найти площадь треугольника

Площадь треугольника – одна из первых геометрических величин, с которой сталкиваются школьники. Но формулы для её вычисления меняются от класса к классу: то, что проходят в 3 классе, дополняется новыми способами в 8 и 9. Ниже – все основные формулы с разбивкой по классам и примерами.

Какая формула площади треугольника самая простая?

Базовая и самая частая формула, которую проходят в 3–4 классе:

S = ½ · a · h

где a – сторона треугольника (основание), h – проведённая к ней высота.

Пример: основание 10 см, высота 6 см → S = ½ · 10 · 6 = 30 см².

Этой формулой можно пользоваться в любом классе, если известны сторона и высота. Остальные формулы – это способы найти площадь, когда высота неизвестна.

Формулы по классам

3–4 класс: основание и высота

В начальной школе изучают только одну формулу:

S = ½ · a · h

Треугольник рисуют с явно проведённой высотой, и задача сводится к подстановке двух чисел. Часто дают прямоугольный треугольник, где высота совпадает с одной из сторон.

5–6 класс: прямоугольный треугольник

В 5 классе появляются задачи на прямоугольный треугольник. Формула упрощается, потому что две стороны, образующие прямой угол (катеты), – это одновременно основание и высота:

S = ½ · a · b

где a и b – катеты.

Пример: катеты 8 см и 5 см → S = ½ · 8 · 5 = 20 см².

7 класс: равнобедренный и равносторонний треугольники

В 7 классе появляются специальные виды треугольников. Для равностороннего (все стороны равны) удобна формула:

S = (a² · √3) / 4

где a – сторона равностороннего треугольника.

Пример: сторона 6 см → S = (36 · √3) / 4 = 9√3 ≈ 15,6 см².

Для равнобедренного треугольника отдельной формулы нет – используют базовую S = ½ · a · h, находя высоту через теорему Пифагора.

8–9 класс: формула Герона, синус угла, радиусы

В 8 классе программу пополняют три новых способа:

Как найти площадь по трём сторонам?

Если известны все три стороны, а высоты нет – используют формулу Герона:

S = √(p · (p − a) · (p − b) · (p − c))

где p = (a + b + c) / 2 – полупериметр.

Пример: стороны 13, 14 и 15 см.

• p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21
• S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84 см²

Формула Герона – самая универсальная: нужны только стороны, без высот и углов.

Формула площади через две стороны и угол между ними

Если известны две стороны и угол между ними:

S = ½ · a · b · sin(γ)

где γ – угол между сторонами a и b.

Пример: a = 10, b = 8, γ = 30° → S = ½ · 10 · 8 · sin(30°) = ½ · 10 · 8 · 0,5 = 20 см².

Значения синусов часто встречающихся углов:

Через радиусы окружностей

Менее распространённые, но полезные формулы:

Через радиус вписанной окружности:

S = p · r

где p – полупериметр, r – радиус вписанной окружности.

Через радиус описанной окружности:

S = (a · b · c) / (4R)

где R – радиус описанной окружности.

Эти формулы удобны в олимпиадных задачах, когда радиусы даны по условию.

Все формулы площади треугольника в одной таблице

Как выбрать формулу?

Алгоритм простой:

1. Известна высота? → Используйте S = ½ · a · h
2. Прямоугольный треугольник? → S = ½ · a · b (катеты)
3. Известны все стороны? → Формула Герона
4. Известны две стороны и угол? → S = ½ · a · b · sin(γ)
5. Равносторонний треугольник? → S = (a²√3) / 4

Прежде чем считать, выпишите, что дано, и подберите формулу по таблице выше. Калькулятор в начале страницы поможет проверить результат.

Формулы соответствуют школьной программе на 2026 год. Программа может отличаться в зависимости от учебника.