МатематикаГеометрия

Как найти острый угол прямоугольного треугольника

Как найти острый угол прямоугольного треугольника по двум сторонам или другому углу: формулы арктангенса, арксинуса, арккосинуса и разбор примеров.

Выберите способ расчёта

Способ расчёта
Оба катета
Формулы, используемые в расчёте
Оба катета
tg(α) = a / b, α = arctg(a/b)
tg(β) = b / a, β = arctg(b/a)
Катет и гипотенуза
sin(α) = a / c, α = arcsin(a/c)
cos(α) = b / c, α = arccos(b/c)
Один острый угол
α + β = 90°, β = 90° − α

Похожие калькуляторы и статьи

Все калькуляторы раздела «Геометрия» (257) →

Короткий ответ

В прямоугольном треугольнике всегда один угол равен 90°, а два других — острые. Найти острый угол можно тремя способами в зависимости от того, что известно:

  • известны оба катета — через арктангенс;
  • известны катет и гипотенуза — через арксинус или арккосинус;
  • известен второй острый угол — простым вычитанием из 90°.

Ниже — каждая формула с примером расчёта.

Сумма острых углов: самый простой случай

Сумма углов любого треугольника равна 180°. Прямой угол «забирает» 90°, значит, на два острых угла остаётся те же 90°:

α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ

Отсюда:

β=90∘−α,α=90∘−β\beta = 90^\circ - \alpha, \qquad \alpha = 90^\circ - \beta

Пример. Если один острый угол равен 35°, то второй равен 90° − 35° = 55°.

Этот способ работает всегда, когда известен хотя бы один из углов, — и часто служит проверкой для остальных методов.

Как найти угол, если известны оба катета

Тангенс острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Пусть катет aa лежит напротив угла α\alpha, а катет bb — напротив угла β\beta. Тогда:

tg⁡(α)=ab,tg⁡(β)=ba\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{a}{b}, \qquad \operatorname{tg}(\beta) = \frac{b}{a}

Чтобы получить сам угол, применяем обратную функцию — арктангенс:

α=arctg⁡ ⁣(ab),β=arctg⁡ ⁣(ba)\alpha = \operatorname{arctg}\!\left(\frac{a}{b}\right), \qquad \beta = \operatorname{arctg}\!\left(\frac{b}{a}\right)

Пример. Катеты равны a=5a = 5 см и b=2b = 2 см:

  • α=arctg⁡(5/2)=arctg⁡(2,5)≈68,2∘\alpha = \operatorname{arctg}(5/2) = \operatorname{arctg}(2{,}5) \approx 68{,}2^\circ
  • β=arctg⁡(2/5)=arctg⁡(0,4)≈21,8∘\beta = \operatorname{arctg}(2/5) = \operatorname{arctg}(0{,}4) \approx 21{,}8^\circ

Проверка: 68,2° + 21,8° = 90°. Верно.

Как найти угол, если известны катет и гипотенуза

Здесь пригодятся синус и косинус. Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

sin⁡(α)=ac,cos⁡(α)=bc\sin(\alpha) = \frac{a}{c}, \qquad \cos(\alpha) = \frac{b}{c}

Соответственно:

α=arcsin⁡ ⁣(ac)=arccos⁡ ⁣(bc)\alpha = \arcsin\!\left(\frac{a}{c}\right) = \arccos\!\left(\frac{b}{c}\right) β=arcsin⁡ ⁣(bc)=arccos⁡ ⁣(ac)\beta = \arcsin\!\left(\frac{b}{c}\right) = \arccos\!\left(\frac{a}{c}\right)

Пример. Гипотенуза c=6c = 6 см, катет b=3b = 3 см:

  • α=arccos⁡(3/6)=arccos⁡(0,5)=60∘\alpha = \arccos(3/6) = \arccos(0{,}5) = 60^\circ
  • β=arcsin⁡(3/6)=arcsin⁡(0,5)=30∘\beta = \arcsin(3/6) = \arcsin(0{,}5) = 30^\circ

Шпаргалка: какую функцию выбрать

Что известноФункцияФормула
Оба катета aa и bbarctgα=arctg⁡(a/b)\alpha = \operatorname{arctg}(a/b)
Противолежащий катет и гипотенузаarcsinα=arcsin⁡(a/c)\alpha = \arcsin(a/c)
Прилежащий катет и гипотенузаarccosα=arccos⁡(b/c)\alpha = \arccos(b/c)
Второй острый уголвычитаниеα=90∘−β\alpha = 90^\circ - \beta

Логика выбора простая: смотрите, какие две стороны лежат в формуле — катет с катетом дают тангенс, катет с гипотенузой — синус или косинус в зависимости от того, противолежащий это катет или прилежащий.

Полезные табличные значения

Часть задач решается без калькулятора, если отношения сторон совпадают с табличными:

Уголsincostg
30°1/2√3/2√3/3 ≈ 0,577
45°√2/2√2/21
60°√3/21/2√3 ≈ 1,732

Например, если катеты равны, то tg⁡(α)=1\operatorname{tg}(\alpha) = 1, а значит α=β=45∘\alpha = \beta = 45^\circ — треугольник равнобедренный. Если отношение катета к гипотенузе равно 1/2, угол равен ровно 30°.

Частые ошибки

  • Путаница противолежащего и прилежащего катетов. Один и тот же катет для угла α\alpha — противолежащий, а для угла β\beta — прилежащий. Всегда определяйте стороны относительно именно того угла, который ищете.
  • Калькулятор в радианах. Если arctg(0,5) выдаёт примерно 0,464 вместо 25°, переключите режим с RAD на DEG.
  • Слишком короткий катет в знаменателе. Формула α=arctg⁡(a/b)\alpha = \operatorname{arctg}(a/b) даст большой угол, если bb мал. Проверяйте результат сложением: два найденных угла обязаны давать ровно 90°.
  • Деление на ноль. Если прилежащий катет равен нулю, треугольник вырождается — расчёт теряет смысл.

Разбор типовой задачи

Условие. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 4 : 5. Найдите больший из них.

Решение. Пусть углы равны 4x4x и 5x5x. Их сумма равна 90°:

4x+5x=90∘⇒9x=90∘⇒x=10∘4x + 5x = 90^\circ \quad\Rightarrow\quad 9x = 90^\circ \quad\Rightarrow\quad x = 10^\circ

Углы равны 40° и 50°. Больший острый угол — 50°.

Ещё одна задача. Катет равен 8 см, гипотенуза — 16 см. Найдите острые углы.

Решение. Отношение катета к гипотенузе: 8/16=0,58/16 = 0{,}5. Значит, противолежащий этому катету угол — 30°, а второй острый угол — 90° − 30° = 60°.

Такие задачи часто встречаются в ОГЭ и ЕГЭ, и ключ к ним — умение распознать табличное значение тригонометрической функции.

Что запомнить

  1. Два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают 90° — это базовое соотношение и одновременно проверка.
  2. Два катета — берите арктангенс их отношения.
  3. Катет и гипотенуза — берите арксинус или арккосинус.
  4. Результат зависит только от отношения сторон, а не от их абсолютных значений: у треугольников 3-4-5 и 6-8-10 углы одинаковые.
  5. Перед вычислением убедитесь, что калькулятор работает в градусах.

Часто задаваемые вопросы

Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
Сумма всех углов любого треугольника равна 180°. Прямой угол занимает 90°, поэтому на два острых угла остаётся тоже 90°. Зная один острый угол, второй всегда можно найти вычитанием: β = 90° − α.
Можно ли найти острый угол, зная только один катет?
Нет, одного катета недостаточно: катет задан только своей длиной, а углы зависят от соотношения сторон. Нужны либо два катета, либо катет и гипотенуза, либо одна сторона и один из углов.
Как на калькуляторе вычислить arctg, arcsin и arccos?
Эти функции часто обозначаются как tg⁻¹, sin⁻¹, cos⁻¹ и могут требовать предварительного нажатия клавиши shift или 2nd. Перед вычислением проверьте, что калькулятор работает в градусах (DEG), иначе результат будет в радианах.
Почему для отношений сторон 3/4 и 6/8 угол получается одинаковый?
Тригонометрические функции зависят не от длин сторон, а от их отношения. Треугольники со сторонами 3-4-5 и 6-8-10 подобны, поэтому их соответствующие углы совпадают и равны примерно 36,87° и 53,13°.
Может ли острый угол прямоугольного треугольника быть равен 90° или больше?
Нет. В прямоугольном треугольнике ровно один угол равен 90°, а два остальных всегда строго меньше 90° — это острые углы. Если бы один из них равнялся 90°, сумма превысила бы 180°.
Что делать, если в задаче даны площадь и один катет?
Сначала найдите второй катет из формулы площади S = ½·a·b, то есть b = 2S/a. Затем используйте тангенс: tg(α) = a/b, откуда α = arctg(a/b). Второй угол — снова через разность 90° − α.