Как найти меньшую дугу окружности
Любая хорда делит окружность на две части – дуги. Та, что короче, называется меньшей (малой). Чтобы найти меньшую дугу, нужно определить её градусную меру или длину – в зависимости от условия задачи. Ниже – все формулы и разборы типовых примеров.
Что такое меньшая дуга окружности
Дуга – часть окружности, заключённая между двумя точками. Эти точки делят окружность на две дуги:
- Меньшая (малая) дуга – градусная мера менее 180°
- Большая дуга – градусная мера более 180°
Сумма двух дуг всегда равна 360°. Если обе дуги равны по 180° – это полуокружности, и понятия «меньшая/большая» не применяются.
Градусная мера дуги – это градусная мера соответствующего центрального угла, то есть угла с вершиной в центре окружности, стороны которого проходят через концы дуги.
Как найти меньшую дугу по центральному углу
Центральный угол – угол, вершина которого совпадает с центром окружности. Его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
Правило: если центральный угол α < 180°, то он опирается на меньшую дугу, и её мера равна α.
| Центральный угол α | Меньшая дуга | Большая дуга |
|---|---|---|
| 60° | 60° | 300° |
| 90° | 90° | 270° |
| 120° | 120° | 240° |
| 150° | 150° | 210° |
Если дан центральный угол α > 180°, он опирается на большую дуга. Тогда меньшая дуга равна:
Меньшая дуга = 360° − α
Пример. Центральный угол равен 250°. Найти меньшую дугу.
Меньшая дуга = 360° − 250° = 110°.
Как найти меньшую дугу по вписанному углу
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её. Ключевая теорема:
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Отсюда градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол β:
Дуга = 2β
Если β < 90°, вписанный угол опирается на меньшую дугу, и её мера равна 2β.
Если β > 90°, угол опирается на большую дугу (2β > 180°), а меньшая дуга равна 360° − 2β.
Пример. Вписанный угол равен 35°. Найти меньшую дугу.
Дуга, на которую опирается угол = 2 × 35° = 70°. Это меньше 180°, значит меньшая дуга = 70°.
Пример. Вписанный угол равен 110°. Найти меньшую дугу.
Дуга, на которую опирается угол = 2 × 110° = 220°. Это большая дуга. Меньшая дуга = 360° − 220° = 140°.
Формула длины меньшей дуги
Градусная мера показывает «размер» дуги в градусах. Длина дуги – это линейная величина, измеряемая в единицах длины (см, м). Для её нахождения нужен радиус окружности.
В градусах
$$L = \frac{\pi \cdot r \cdot \alpha}{180}$$где:
- L – длина дуги
- r – радиус окружности
- α – градусная мера дуги (в градусах)
В радианах
$$L = r \cdot \alpha$$где α – мера дуги в радианах.
Пример. Радиус окружности – 10 см, центральный угол – 72°. Найти длину меньшей дуги.
L = π × 10 × 72 / 180 = 720π / 180 = 4π ≈ 12,57 см.
Как найти меньшую дугу по хорде
Если известна длина хорды d и радиус окружности r, центральный угол находится через обратную тригонометрическую функцию:
$$\alpha = 2 \cdot \arcsin\left(\frac{d}{2r}\right)$$Эта формула всегда даёт угол от 0° до 180°, то есть сразу градусную меру меньшей дуги.
Пример. Хорда равна 6 см, радиус – 6 см. Найти меньшую дугу.
α = 2 × arcsin(6 / 12) = 2 × arcsin(0,5) = 2 × 30° = 60°.
Длина меньшей дуги: L = π × 6 × 60 / 180 = 2π ≈ 6,28 см.
Нахождение меньшей дуги через касательную
Если из внешней точки проведена касательная и секущая к окружности, угол между ними связан с дугами формулой:
$$\gamma = \frac{a - b}{2}$$где γ – угол между касательной и секущей, a – большая дуга, b – меньшая дуга.
Зная, что a + b = 360° (для полной окружности, отсечённой секущей) или что a + b равно дуге между точками пересечения, можно составить систему уравнений и найти меньшую дугу.
Пример. Угол между касательной и секущей равен 40°. Секущая отсекает дугу, а касательная проходит через точку касания. Сумма двух дуг, заключённых между точками касания и пересечения секущей с окружностью, равна 360°.
Система:
- a − b = 2 × 40° = 80°
- a + b = 360°
Складываем: 2a = 440°, a = 220°. Тогда b = 360° − 220° = 140°.
Меньшая дуга = 140°.
Сводная таблица формул
| Что дано | Формула меньшей дуги |
|---|---|
| Центральный угол α < 180° | Дуга = α |
| Центральный угол α > 180° | Дуга = 360° − α |
| Вписанный угол β < 90° | Дуга = 2β |
| Вписанный угол β > 90° | Дуга = 360° − 2β |
| Хорда d и радиус r | Дуга = 2 × arcsin(d / 2r) |
| Длина дуги L и радиус r | α = 180L / (πr) |
Частые ошибки при решении задач
- Путаница между дугой и углом. Градусная мера дуги равна центральному углу, но не вписанному. Вписанный угол – это половина дуги.
- Неправильный выбор дуги. Вписанный угол опирается на дугу, которая лежит напротив него, а не рядом с его вершиной.
- Забытый перевод в радианы. При использовании формулы L = r × α угол должен быть в радианах. Для перевода: α(рад) = α(°) × π / 180.
- Дуга вместо длины дуги. Градусная мера (в градусах) и длина дуги (в сантиметрах) – разные величины. Не подставляйте градусы туда, где нужны единицы длины.
Формулы приведены для стандартного курса геометрии. В конкретных задачах учитывайте дополнительные условия.