Уравнение касательной

Уравнение касательной описывает прямую линию, которая в заданной точке «касается» графика функции, совпадая с ним по направлению.

Общая формула уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит так:

$y = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0)$

Где:

• $x_0$ – координата точки касания по оси OX;
• $f(x_0)$ – значение исходной функции в точке касания;
• $f'(x_0)$ – значение производной функции в точке касания;
• $x$ и $y$ – переменные (остаются в итоговом уравнении).

Калькулятор выше позволяет мгновенно вычислить итоговое уравнение. Для этого необходимо указать саму функцию $f(x)$ и абсциссу точки $x_0$. Инструмент автоматически найдет производную, рассчитает промежуточные значения и выведет готовое линейное уравнение вида $y = kx + b$.

Как найти уравнение касательной: пошаговый алгоритм

Расчет можно выполнить вручную за четыре шага. Этот метод универсален и работает для любых дифференцируемых функций.

1. Определите значение функции в точке. Подставьте заданную координату $x_0$ в исходное уравнение $f(x)$ и найдите $f(x_0)$.
2. Найдите производную. Возьмите производную от первоначальной функции, чтобы получить выражение $f'(x)$.
3. Вычислите значение производной в точке. Подставьте $x_0$ в найденное выражение $f'(x)$ и получите число $f'(x_0)$.
4. Составьте итоговое уравнение. Подставьте все три известных элемента ($x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$) в базовую формулу и упростите выражение, раскрыв скобки.

Пример расчета

Рассмотрим процесс на конкретном примере. Требуется найти уравнение касательной к функции $f(x) = x^2 - 4x + 5$ в точке $x_0 = 3$.

Шаг 1: Вычисляем $f(x_0)$ $f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 5$ $f(3) = 9 - 12 + 5 = 2$

Шаг 2: Находим производную $f'(x)$ Правила дифференцирования степенной функции дают результат: $f'(x) = 2x - 4$

Шаг 3: Вычисляем $f'(x_0)$ $f'(3) = 2 \cdot 3 - 4$ $f'(3) = 6 - 4 = 2$

Шаг 4: Подставляем данные в формулу Берем шаблон $y = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0)$: $y = 2 + 2 \cdot (x - 3)$

Раскрываем скобки и приводим подобные: $y = 2 + 2x - 6$ $y = 2x - 4$

Искомое уравнение касательной: $y = 2x - 4$.

Частные случаи

Иногда при расчете возникают ситуации, когда прямая принимает специфическое положение на координатной плоскости.

• Горизонтальная касательная. Если значение производной в точке касания равно нулю ($f'(x_0) = 0$), то касательная параллельна оси абсцисс. В этом случае уравнение примет вид $y = b$, где $b$ – константа, равная $f(x_0)$. Такое часто происходит в точках локального экстремума (максимума или минимума функции).
• Вертикальная касательная. Возникает, если производная в точке стремится к бесконечности. Функция в этой точке имеет вертикальную касательную с уравнением вида $x = x_0$. Классический пример – графики корней нечетной степени (например, $y = \sqrt[3]{x}$) в нуле.