Как найти гипотенузу: формулы и калькулятор

Вопрос «как найти гипотенузу» возникает у школьников с 7–8 класса и дальше встречается в задачах ОГЭ, ЕГЭ, олимпиадах и даже в прикладных задачах по физике и строительству.

В этой статье вы получите:

• простые формулы для нахождения гипотенузы;
• понятные пошаговые примеры расчётов;
• инструкцию по использованию онлайн‑калькулятора гипотенузы на этой странице.

Что такое гипотенуза простыми словами

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен 90°.

В нём:

• катеты — две стороны, которые образуют прямой угол;
• гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. Это самая длинная сторона такого треугольника.

На чертеже обычно:

• катеты обозначают буквами a и b,
• гипотенузу — буквой c.

Основные способы, как найти гипотенузу

Найти гипотенузу можно разными путями, в зависимости от того, какие данные вам известны:

1. По двум катетам — теорема Пифагора.
2. По катету и острому углу (через синус или косинус).
3. По площади и одному катету (через связь площади и сторон).
4. Через проекции катетов на гипотенузу (чуть реже используется в школе).

Ниже разберём каждый способ с формулами и примерами.

Онлайн калькулятор гипотенузы

На этой странице размещён простой калькулятор, который помогает быстро найти гипотенузу прямоугольного треугольника.

Калькулятор может работать в двух основных режимах:

1. По двум катетам
   Вводите значения катетов a и b — получаете длину гипотенузы c.

2. По катету и углу
   Вводите один катет и острый угол при нём — калькулятор сам выбирает нужную формулу.

Как пользоваться калькулятором гипотенузы

1. Выберите способ расчёта

   • «По двум катетам»
     или
   • «По катету и углу».

2. Введите исходные данные

   • длину катетов или катета;
   • величину острого угла (в градусах).

3. Проверьте единицы измерения

   • используйте одни и те же единицы для всех длин: только сантиметры, только метры и т.д.

4. Нажмите кнопку «Рассчитать»

5. Получите результат

   • длину гипотенузы;
   • при необходимости калькулятор дополнительно может показать периметр и площадь треугольника.

Пример расчёта в калькуляторе

Допустим, нужно найти гипотенузу, если:

• первый катет a = 3 см,
• второй катет b = 4 см.

Действия:

1. Выбираем режим «По двум катетам».
2. Вводим a = 3, b = 4.
3. Нажимаем «Рассчитать».

Калькулятор применит формулу:

c = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Ответ: гипотенуза равна 5 см.

Как найти гипотенузу по двум катетам (теорема Пифагора)

Это самый важный и часто используемый способ.

Формула

Для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c:

c² = a² + b²
c = √(a² + b²)

Пошаговый пример

Задача:
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу.

1. Записываем формулу:
   c² = a² + b²
2. Подставляем числа:
   c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
3. Находим гипотенузу:
   c = √100 = 10

Ответ: гипотенуза равна 10 см.

Известные «пифагоровы тройки»

Иногда гипотенузу можно найти устно, если стороны образуют известную тройку чисел:

• (3, 4, 5) → 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
• (5, 12, 13)
• (6, 8, 10) — это (3, 4, 5), умноженная на 2
• (8, 15, 17)
  и другие.

Если вы узнаёте такую тройку в задаче, можно сразу написать длину гипотенузы, не считая в столбик.

Как найти гипотенузу по катету и углу

Если известен один катет и острый угол при нём, можно использовать тригонометрию.

Обозначим:

• c — гипотенуза;
• a — катет, прилежащий к углу α;
• b — катет, лежащий напротив угла α.

Формулы

1. Если известен прилежащий катет a и угол α:

   cos α = a / c → c = a / cos α

2. Если известен противолежащий катет b и угол α:

   sin α = b / c → c = b / sin α

Важно: угол α должен быть острым (меньше 90°), это один из углов прямоугольного треугольника.

Пример 1: по прилежащему катету и углу

Задача:
Прилежащий к углу катет равен 5 см, угол при нём α = 60°. Найдите гипотенузу.

1. Используем формулу:
   c = a / cos α
2. Подставляем значения:
   cos 60° = 0,5
   c = 5 / 0,5 = 10

Ответ: гипотенуза равна 10 см.

Пример 2: по противолежащему катету и углу

Задача:
Катет, лежащий напротив угла 30°, равен 4 см. Найдите гипотенузу.

1. Формула:
   c = b / sin α
2. Значения:
   sin 30° = 0,5
   c = 4 / 0,5 = 8

Ответ: гипотенуза равна 8 см.

Как найти гипотенузу по площади и катету

Иногда в задаче даны:

• площадь треугольника S,
• один из катетов, например a.

Шаг 1. Найти второй катет

Площадь прямоугольного треугольника:

S = (a · b) / 2

Отсюда:

b = 2S / a

Шаг 2. Найти гипотенузу по теореме Пифагора

c = √(a² + b²)

Пример

Задача:
Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², один из катетов равен 6 см. Найдите гипотенузу.

1. Находим второй катет:
   b = 2S / a = 2 · 24 / 6 = 48 / 6 = 8 см
2. Теперь найдём гипотенузу:
   c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см

Ответ: гипотенуза равна 10 см.

Как найти гипотенузу вручную: общий алгоритм

Если вы решаете задачу без калькулятора, удобно придерживаться одного и того же порядка действий.

1. Определите, какие данные известны

   • два катета;
   • катет и угол;
   • площадь и катет;
   • или что‑то ещё.

2. Выберите нужную формулу

   • два катета → теорема Пифагора;
   • катет и угол → синус или косинус;
   • площадь и катет → сначала второй катет, потом теорема Пифагора.

3. Аккуратно подставьте числа

   • следите за скобками;
   • не забывайте возводить в квадрат именно длины катетов.

4. Посчитайте

   • сначала сложите/вычислите под корнем;
   • потом извлеките квадратный корень.

5. Проверьте ответ

   • гипотенуза должна получиться больше каждого катета;
   • если получилось наоборот — где‑то ошибка.

Частые ошибки при поиске гипотенузы

1. Перепутали катет и гипотенузу

Иногда по условию задачи дают гипотенузу и катет, а ученик по привычке подставляет их в формулу как катеты:

c² = a² + b²

На самом деле, если гипотенуза известна, а нужно найти катет, формула другая:

a² = c² − b²

Проверка: в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда самая большая сторона.

2. Неправильно извлекают корень

Типичная ошибка:

c² = 25 → c = 25

Правильно:

c² = 25 → c = √25 = 5

Сначала найдите значение под корнем, а потом извлеките корень.

3. Разные единицы измерения

Например:

• один катет в сантиметрах;
• другой — в метрах.

Так делать нельзя. Нужно сначала привести всё к одним единицам (например, всё в сантиметрах), а уже потом считать.

4. Ошибка в тригонометрических функциях

Часто путают:

• sin и cos;
• градусы и радианы (в калькуляторе на телефоне может быть режим радиан).

Если угол дан в градусах (30°, 45°, 60° и т.д.), убедитесь, что ваш калькулятор тоже считает в градусах.

Примеры задач на нахождение гипотенузы

Задача 1. Классическая школьная

Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

c = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15

Ответ: 15 см.

Задача 2. Прикладная (лестница к стене)

Лестницу длиной 5 м приставили к стене так, что нижний конец стоит на расстоянии 3 м от стены. На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы?

Схема:

• лестница — гипотенуза c = 5 м;
• расстояние от стены до лестницы — один катет a = 3 м;
• высота, на которой верх лестницы касается стены — второй катет b (его ищем).

Используем формулу для катета:

b² = c² − a² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16
b = √16 = 4 м

Ответ: 4 м.

Задача 3. Физика: результирующая сила

К телу приложены две взаимно перпендикулярные силы:
F₁ = 6 Н и F₂ = 8 Н. Найдите равнодействующую силу.

Решение:

Равнодействующая — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8.

F = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 Н

Ответ: 10 Н.

Как запомнить, как найти гипотенузу

1. Фраза для запоминания
   «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

2. Ассоциация с реальной жизнью
   Представьте: вы идёте сначала по одной улице прямо, потом поворачиваете направо. Это катеты. Диагональ между началом и концом пути — гипотенуза.

3. Табличка с формулами

   • По двум катетам:
     c = √(a² + b²)

   • По катету и углу:
     c = a / cos α или c = b / sin α

   • По площади и катету:
     b = 2S / a, затем c = √(a² + b²)

Раз в несколько дней пересматривайте эти формулы — и они быстро запомнятся.

Ответы на популярные вопросы

Как понять, что я правильно нашёл гипотенузу?

Проверьте:

• гипотенуза больше каждого катета;
• если подставить найденное значение в теорему Пифагора, равенство выполняется.

Можно ли найти гипотенузу «на глаз»?

Точно — нет, но иногда можно оценить:

• если катеты примерно 3 и 4, гипотенуза будет около 5;
• если оба катета одинаковые, гипотенуза примерно в 1,4 раза больше катета (так как √2 ≈ 1,41).

Что делать, если в задаче нет прямого угла?

Гипотенуза существует только в прямоугольном треугольнике.
Если треугольник не прямоугольный, слова «гипотенуза» в задаче быть не должно — ищите другие формулы (например, теорему косинусов).

Итоги

Чтобы уверенно отвечать на вопрос «как найти гипотенузу», достаточно запомнить:

1. Главную формулу — теорема Пифагора:
   c = √(a² + b²).

2. Два тригонометрических варианта:

   • c = a / cos α (по прилежащему катету и углу);
   • c = b / sin α (по противолежащему катету и углу).

3. Алгоритм решения задач:

   • понять, что известно;
   • выбрать подходящую формулу;
   • аккуратно посчитать и проверить ответ.

А для быстрых вычислений в жизни, при подготовке к контрольной или экзамену вы можете использовать онлайн‑калькулятор гипотенузы на этой странице: он делает все вычисления за секунды и помогает проверить себя.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.