Как найти длину между двумя точками
Расстояние между двумя точками – это длина кратчайшего отрезка, который их соединяет. На координатной плоскости оно вычисляется по одной формуле, которая работает для любых координат: целых, дробных, отрицательных.
Формула расстояния между двумя точками
Для точек A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) на координатной плоскости:
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Это основная формула аналитической геометрии. Она работает напрямую – достаточно подставить координаты двух точек и посчитать результат.
Чтобы запомнить: расстояние – это всегда положительное число или ноль (когда точки совпадают).
Как выводится формула из теоремы Пифагора
Формула расстояния – это не заучивание, а прямое следствие теоремы Пифагора.
Представьте две точки A(2, 1) и B(5, 5). Проведите через них прямоугольный треугольник:
- Катет по горизонтали – разность x-координат: |5 − 2| = 3
- Катет по вертикали – разность y-координат: |5 − 1| = 4
- Гипотенуза – искомое расстояние: d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Расстояние между точками – это гипотенуза, а разности координат – катеты. Поэтому формула d = √((Δx)² + (Δy)²) по сути и есть теорема Пифагора.
Примеры расчёта расстояния
Пример 1: целые координаты
Найти расстояние между точками A(1, 3) и B(7, 8).
- Δx = 7 − 1 = 6
- Δy = 8 − 3 = 5
- d = √(6² + 5²) = √(36 + 25) = √61 ≈ 7,81
Пример 2: отрицательные координаты
Найти расстояние между точками A(−3, 2) и B(4, −1).
- Δx = 4 − (−3) = 7
- Δy = −1 − 2 = −3
- d = √(7² + (−3)²) = √(49 + 9) = √58 ≈ 7,62
Знак минуса при вычитании не мешает – квадрат любого числа положителен.
Пример 3: дробные координаты
Найти расстояние между точками A(1,5; 2) и B(4,5; 6).
- Δx = 4,5 − 1,5 = 3
- Δy = 6 − 2 = 4
- d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Частные случаи
Когда точки лежат на прямой, параллельной одной из осей, формула упрощается:
- Одинаковые y (горизонтальный отрезок): d = |x₂ − x₁|
- Одинаковые x (вертикальный отрезок): d = |y₂ − y₁|
Это частные случаи общей формулы: одно из слагаемых равно нулю, и под корнем остаётся квадрат одной разности.
Расстояние в трёхмерном пространстве
Для точек A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) в пространстве формула добавляет третье слагаемое:
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
Пример для 3D
Точки A(1, 2, 3) и B(4, 6, 3).
- Δx = 4 − 1 = 3
- Δy = 6 − 2 = 4
- Δz = 3 − 3 = 0
- d = √(3² + 4² + 0²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Третья координата z одинакова – значит, точки лежат в одной горизонтальной плоскости, и задача сводится к двумерному случаю.
Сводная таблица формул
| Случай | Формула |
|---|---|
| 2D (координатная плоскость) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) |
| 3D (пространство) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Горизонтальный отрезок | d = |x₂ − x₁| |
| Вертикальный отрезок | d = |y₂ − y₁| |
Связь с другими задачами
Формула расстояния – базовый инструмент, который используется в десятках других задач:
- Длина окружности и хорды – проверка, лежит ли точка на окружности
- Середина отрезка – координаты середины находятся из тех же разностей, делённых на 2
- Уравнение прямой – расстояние от точки до прямой использует похожий подход
- Площадь треугольника – через длины сторон (формула Герона), которые считаются как расстояния между вершинами
Калькулятор выше позволяет мгновенно найти расстояние между двумя точками – достаточно ввести координаты. Алгоритм использует стандартную формулу и работает для любых значений, включая дробные и отрицательные.