Как найти дисперсию

Подробное руководство по вычислению дисперсии с формулами, примерами и онлайн-калькулятором для быстрого расчета разброса данных и статистической вариации.

Обновлено:

Содержание статьи
Ввод данных
Разрешены только цифры, запятые, точки и пробелы.
Используйте выборочную, если данные — это часть большой группы. Используйте генеральную, если у вас есть данные по всем объектам.

Что такое дисперсия

Дисперсия — это статистический показатель, который измеряет разброс значений в наборе данных относительно среднего арифметического. Чем выше дисперсия, тем больше данные отличаются друг от друга и от среднего значения.

Дисперсия широко применяется в статистике, экономике, финансах, качественном контроле и научных исследованиях. Она помогает оценить степень изменчивости данных и риски, связанные с неопределенностью.

Формулы расчета дисперсии

Существует два основных типа дисперсии в зависимости от характера данных.

Генеральная дисперсия

Используется когда вы работаете со всей совокупностью данных:

σ² = Σ(xi - μ)² / N

Где:

Выборочная дисперсия

Применяется для выборки из большой совокупности:

s² = Σ(xi - x̄)² / (n - 1)

Где:

Деление на (n-1) вместо n дает несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

Пошаговая инструкция расчета

Шаг 1: Найдите среднее значение

Сложите все числа и разделите на их количество.

Пример: Для чисел 2, 4, 6, 8, 10 Среднее = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 30 / 5 = 6

Шаг 2: Вычислите отклонения

Вычтите среднее значение из каждого числа.

Пример:

Шаг 3: Возведите отклонения в квадрат

Каждое отклонение умножьте само на себя.

Пример:

Шаг 4: Найдите сумму квадратов

Сложите все квадраты отклонений.

Пример: 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40

Шаг 5: Разделите на количество значений

Для генеральной совокупности делите на N, для выборки — на (n-1).

Пример (генеральная): 40 / 5 = 8

Пример (выборочная): 40 / 4 = 10

Практические примеры

Пример 1: Оценки студентов

Студент получил оценки: 3, 4, 4, 5, 4

  1. Среднее: (3 + 4 + 4 + 5 + 4) / 5 = 4
  2. Отклонения: -1, 0, 0, 1, 0
  3. Квадраты: 1, 0, 0, 1, 0
  4. Сумма: 2
  5. Дисперсия: 2 / 5 = 0,4

Низкая дисперсия показывает стабильную успеваемость.

Пример 2: Доходность акций

Месячная доходность акции (в %): -2, 5, 3, -1, 8

  1. Среднее: (-2 + 5 + 3 - 1 + 8) / 5 = 2,6%
  2. Отклонения: -4,6, 2,4, 0,4, -3,6, 5,4
  3. Квадраты: 21,16, 5,76, 0,16, 12,96, 29,16
  4. Сумма: 69,2
  5. Выборочная дисперсия: 69,2 / 4 = 17,3

Высокая дисперсия указывает на волатильность и риск.

Как пользоваться калькулятором дисперсии

Наш онлайн-калькулятор упрощает расчет дисперсии:

  1. Введите числовые данные в поле ввода, разделяя их запятыми или пробелами
  2. Выберите тип дисперсии: выборочная или генеральная
  3. Нажмите кнопку “Рассчитать”
  4. Получите результаты: среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение

Калькулятор автоматически выполняет все вычисления и показывает промежуточные шаги, что помогает понять процесс расчета.

Связь дисперсии и стандартного отклонения

Стандартное отклонение (σ или s) — это квадратный корень из дисперсии. Оно измеряется в тех же единицах, что и исходные данные, что делает его более интуитивным для интерпретации.

σ = √σ²

Если дисперсия зарплат составляет 10 000 000 рублей², то стандартное отклонение будет 10 000 рублей, что легче воспринимается.

Частые ошибки при расчете

  1. Забывают возводить в квадрат — отклонения нужно именно возводить в квадрат, а не брать модуль
  2. Путают N и N-1 — для выборки всегда используйте деление на (n-1)
  3. Неправильно считают среднее — проверяйте расчет среднего значения дважды
  4. Округляют промежуточные результаты — округляйте только финальный ответ для точности

Применение дисперсии

В финансах: оценка риска инвестиций и волатильности активов

В производстве: контроль качества и стабильности процессов

В медицине: анализ эффективности лечения и разброса показателей

В образовании: оценка однородности знаний в группе

В маркетинге: анализ стабильности продаж и поведения потребителей

Часто задаваемые вопросы

Что такое дисперсия простыми словами?

Дисперсия — это мера разброса данных относительно среднего значения. Чем больше дисперсия, тем сильнее значения отличаются от среднего. Простой пример: если в двух группах студентов средний балл 4, но в первой все получили 4, а во второй — кто-то 2, а кто-то 5, то дисперсия во второй группе будет выше.

В чем разница между выборочной и генеральной дисперсией?

Генеральная дисперсия рассчитывается для всей совокупности данных и делится на N. Выборочная дисперсия используется для части данных (выборки) и делится на N-1 для получения несмещенной оценки. В большинстве практических задач используется выборочная дисперсия.

Как связаны дисперсия и среднее квадратичное отклонение?

Среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение) — это квадратный корень из дисперсии. Если дисперсия равна 16, то стандартное отклонение равно 4. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и исходные данные, что делает его более наглядным.

Может ли дисперсия быть отрицательной?

Нет, дисперсия всегда неотрицательна. Минимальное значение дисперсии — 0, что означает полное отсутствие разброса данных (все значения одинаковы). Это связано с тем, что дисперсия вычисляется как сумма квадратов отклонений.

Зачем нужна дисперсия в реальной жизни?

Дисперсия используется для оценки рисков в финансах, контроля качества в производстве, анализа стабильности процессов, прогнозирования в экономике и медицине. Например, инвестор может сравнить дисперсию доходности разных акций для оценки риска вложений.

Как использовать калькулятор дисперсии?

Введите числовые значения через запятую или пробел в поле калькулятора. Выберите тип расчета (выборочная или генеральная дисперсия) и нажмите кнопку расчета. Калькулятор автоматически вычислит среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.