ОбразованиеМатематика

Как найти дискриминант квадратного уравнения

Формула дискриминанта квадратного уравнения. Как найти дискриминант, определить количество корней и решить уравнение. Пошаговые примеры.

a ≠ 0 — иначе уравнение не квадратное
если слагаемого с x нет — 0
если свободного члена нет — 0

Пошаговое решение

    Напоминание: D > 0 — два различных корня, D = 0 — один двойной корень, D < 0 — действительных корней нет. Корни ищутся по формуле x1,2 = (−b ± √D) / 2a.

    Похожие калькуляторы и статьи

    Все калькуляторы раздела «Математика» (129) →

    Формула дискриминанта

    Квадратное уравнение имеет вид ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, где a≠0a \neq 0. Коэффициенты:

    • a — старший коэффициент при x2x^2;
    • b — второй коэффициент при xx;
    • c — свободный член.

    Дискриминант вычисляется по формуле:

    D=b2−4acD = b^2 - 4ac

    Это выражение получается из процедуры выделения полного квадрата и определяет, сколько корней имеет уравнение, до того как сами корни найдены.

    Как дискриминант влияет на корни

    Значение DКорнейФормула корней
    D > 0Два различныхx1,2=−b±D2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
    D = 0Один (двойной)x=−b2ax = -\dfrac{b}{2a}
    D < 0Нет действительных—

    Запомнить легко: дискриминант — это «различитель» корней. Чем больше его значение, тем «разнесённее» корни друг от друга.

    Пошаговый алгоритм

    1. Приведите уравнение к виду ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.
    2. Определите коэффициенты aa, bb, cc вместе со знаками.
    3. Подставьте их в формулу D=b2−4acD = b^2 - 4ac.
    4. Оцените знак дискриминанта и сделайте вывод о корнях.
    5. Если корни есть — подставьте значения в формулу.

    Примеры с решением

    D > 0: два корня

    Уравнение x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0.

    Коэффициенты: a=1a = 1, b=−5b = -5, c=6c = 6.

    D=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24=1D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1

    Дискриминант положительный — два корня:

    x1,2=5±12=5±12x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} x1=3,x2=2x_1 = 3, \quad x_2 = 2

    Проверка (теорема Виета): x1+x2=5=−bx_1 + x_2 = 5 = -b, x1⋅x2=6=cx_1 \cdot x_2 = 6 = c ✓

    D = 0: один корень

    Уравнение x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0.

    Коэффициенты: a=1a = 1, b=−6b = -6, c=9c = 9.

    D=(−6)2−4⋅1⋅9=36−36=0D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0

    Один корень:

    x=62=3x = \frac{6}{2} = 3

    Обратите внимание: x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 — это полный квадрат, поэтому корень и получился двойным.

    D < 0: корней нет

    Уравнение 2x2+x+3=02x^2 + x + 3 = 0.

    Коэффициенты: a=2a = 2, b=1b = 1, c=3c = 3.

    D=12−4⋅2⋅3=1−24=−23D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23

    Отрицательный дискриминант — действительных корней нет.

    Сокращённый дискриминант: пример с чётным b

    Когда bb чётное, удобнее считать не DD, а D1D_1:

    D1=k2−ac,где k=b2D_1 = k^2 - ac, \quad \text{где } k = \frac{b}{2} x1,2=−k±D1ax_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}

    Уравнение 3x2−8x+4=03x^2 - 8x + 4 = 0. Коэффициент b=−8b = -8 — чётный.

    k=−4,D1=(−4)2−3⋅4=16−12=4k = -4, \quad D_1 = (-4)^2 - 3 \cdot 4 = 16 - 12 = 4 x1,2=4±43=4±23x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{3} = \frac{4 \pm 2}{3} x1=2,x2=23x_1 = 2, \quad x_2 = \frac{2}{3}

    Числа под корнем меньше, чем в полной формуле, — считать проще и ошибок меньше.

    Типичные ошибки

    1. Потеря знака у b. Если в уравнении 2x2−5x−3=02x^2 - 5x - 3 = 0, коэффициент b=−5b = -5, а не 55. Знак входит в коэффициент.
    2. Деление на aa при подстановке в формулу. Формула x=−b/2ax = -b / 2a уже содержит деление — не делите bb на aa заранее.
    3. Забытый корень x=0x = 0 в неполных уравнениях. В уравнении ax2+bx=0ax^2 + bx = 0 всегда есть корень x=0x = 0, даже если b=0b = 0.

    Часто задаваемые вопросы

    Что показывает дискриминант?
    Дискриминант показывает, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение. Если D > 0 — два корня, D = 0 — один корень, D < 0 — действительных корней нет.
    Чему равен дискриминант?
    Дискриминант вычисляется по формуле D = b² − 4ac, где a, b и c — коэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0.
    Что делать, если дискриминант отрицательный?
    Если D < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней. В множестве комплексных чисел корни всё же существуют и выражаются через мнимую единицу i.
    Для чего нужен сокращённый дискриминант?
    Сокращённый дискриминант D₁ = k² − ac, где k = b/2, используют, когда коэффициент b чётный. Он уменьшает числа в расчётах и снижает риск арифметической ошибки.