Как найти дискриминант
Чтобы найти корни квадратного уравнения, сначала вычисляют дискриминант – это значение подсказывает, сколько решений существует и нужно ли их искать дальше.
Что такое дискриминант
Дискриминант (обозначается буквой D или ∆) – это выражение от коэффициентов квадратного уравнения, которое определяет количество его корней.
Стандартный вид квадратного уравнения:
$$ax^2 + bx + c = 0$$где:
- a – старший коэффициент (при x²),
- b – средний коэффициент (при x),
- c – свободный член.
Условие: a ≠ 0. Иначе уравнение становится линейным, а дискриминант для него не считают.
Формула дискриминанта
Для общего случая используют классическую формулу:
$$D = b^2 - 4ac$$Если уравнение приведённое (старший коэффициент a = 1), применяют сокращённый вариант:
$$D = p^2 - 4q$$где p и q – коэффициенты уравнения $x^2 + px + q = 0$.
Как определить количество корней по дискриминанту
Результат подстановки в формулу сразу показывает дальнейший алгоритм действий:
| Значение D | Количество корней | Что делать дальше | ||
|---|---|---|---|---|
| D > 0 | Два различных корня | Использовать формулу: $x = {-b \pm \sqrt{D} \over 2a}$ | ||
| D = 0 | Один корень (кратность 2) | Считать по упрощённой формуле: $x = {-b \over 2a}$ | ||
| D < 0 | Действительных корней нет | Ответ: «Корней нет». В комплексных числах: $x = {-b \pm i\sqrt{ | D | } \over 2a}$ |
Пошаговый пример расчёта
Задача: Найти дискриминант уравнения $2x^2 + 5x + 3 = 0$ и определить корни.
Шаг 1. Определяем коэффициенты:
- a = 2
- b = 5
- c = 3
Шаг 2. Подставляем в формулу:
$$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$$Шаг 3. Анализируем результат: D = 1, что больше нуля. Значит, уравнение имеет два различных корня.
Шаг 4. Находим корни:
$$x_1 = {-5 + \sqrt{1} \over 2 \cdot 2} = {-4 \over 4} = -1$$$$x_2 = {-5 - \sqrt{1} \over 4} = {-6 \over 4} = -1,5$$Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = -1,5$.
Используйте калькулятор выше для проверки вычислений. Введите коэффициенты a, b и c – он рассчитает дискриминант и покажет корни уравнения с пошаговым решением.
Частые ошибки при расчёте
- Знаки коэффициентов. Если b или c отрицательные, подставляйте их в формулу вместе со знаком. Например, при c = −3 выражение −4ac превращается в −4·a·(−3) = +12a.
- Упрощение при D = 0. Не пишите «два одинаковых корня» – в математических ответах принято указывать «один корень кратности 2» или просто «x = …».
- Неполные уравнения. Если отсутствует свободный член (c = 0) или средний (b = 0), дискриминант всё равно считают по общей формуле, просто пропускают нулевое слагаемое. Например, при $x^2 - 4 = 0$ получается $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16$.