Как найти AC треугольника

Дан треугольник ABC. Известно: AB = 5 см, BC = 7 см, ∠B = 60°. Чему равна сторона AC?
Эта классическая задача требует одной формулы – теоремы косинусов. Но в зависимости от того, какие данные есть в условии, AC можно найти и другими способами.

Что такое сторона AC и как она обозначается

В треугольнике ABC сторона AC лежит напротив вершины B и соединяет вершины A и C. В общепринятых обозначениях:

• AB = c, BC = a, AC = b (напротив угла B лежит сторона AC, обозначаемая b).
• ∠A, ∠B, ∠C – углы при соответствующих вершинах.

Если перед вами стоит задача «как найти AC треугольника», ответ зависит от исходных данных.

Как найти AC по двум сторонам и углу между ними – теорема косинусов

Это основной инструмент, когда известны AB, BC и угол B.

Формула теоремы косинусов для стороны AC:

b² = a² + c² – 2 · a · c · cos(∠B)

где a = BC, c = AB, b = AC.

После вычисления правой части извлеките квадратный корень.
Пример: при AB = 5, BC = 7, ∠B = 60°:
b² = 5² + 7² – 2·5·7·cos 60° = 25 + 49 – 70·0,5 = 25 + 49 – 35 = 39
b = √39 ≈ 6,24 см.

Тот же подход сработает, если угол B задан не в градусах, а в радианах – просто подставьте в косинус соответствующее значение.

Калькулятор выше выполняет расчёт AC по теореме косинусов на лету: укажите длины AB, BC и величину угла B в градусах – результат появится мгновенно.

Как вычислить AC в прямоугольном треугольнике – теорема Пифагора

Если треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B, сторона AC становится гипотенузой. Тогда работает теорема Пифагора:

AC = √(AB² + BC²)

Пример: AB = 3 см, BC = 4 см → AC = √(9 + 16) = √25 = 5 см.

Если же прямой угол находится при вершине A, AC является катетом, а гипотенуза – BC. Тогда AC вычисляется как:

AC = √(BC² – AB²) (при условии, что BC – гипотенуза).

Аналогично для прямого угла при вершине C: AC – катет, гипотенуза AB, AC = √(AB² – BC²).

Расчёт AC по координатам вершин

Когда треугольник задан координатами вершин A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃), длину стороны AC находят по формуле расстояния между двумя точками:

AC = √((x₃ – x₁)² + (y₃ – y₁)²)

Пример: A(1, 2), C(4, 6) → AC = √((4 – 1)² + (6 – 2)²) = √(3² + 4²) = 5.

Если координаты трёхмерные, добавляют разность по оси z:
AC = √((x₃ – x₁)² + (y₃ – y₁)² + (z₃ – z₁)²).

Как найти AC, зная углы и одну сторону – теорема синусов

Этот метод выручает, когда известны два угла и любая сторона. Например, даны ∠A, ∠B и сторона BC (или AB). Тогда AC отыскивают через теорему синусов:

AC / sin(∠B) = BC / sin(∠A)

Отсюда AC = BC · sin(∠B) / sin(∠A).
После нахождения двух углов третий вычисляется как 180° – (∠A + ∠B), и формулу можно адаптировать под любую пару «сторона-угол».

Пример: ∠A = 45°, ∠B = 60°, BC = 10 см.
AC = 10 · sin 60° / sin 45° = 10 · (√3/2) / (√2/2) = 10√3/√2 ≈ 12,25 см.

Если же известны только сторона и противолежащий угол, а также один из прилежащих углов – схема та же, главное правильно соотнести стороны и синусы противоположных им углов.

Когда AC найти нельзя: ограничения методов

• По одним только углам – треугольник не определён по размеру, AC может быть любой.
• Если даны три стороны – AC уже известна (вычислять нечего).
• При комбинации «две стороны и угол не между ними» может возникнуть неоднозначность (два возможных треугольника), но сторона AC всё равно вычисляется через теорему синусов или квадратное уравнение из теоремы косинусов.

Короткий алгоритм: какую формулу выбрать

1. Известны две стороны и угол между ними (AB, BC, ∠B) → теорема косинусов.
2. Треугольник прямоугольный и известны два катета или катет и гипотенуза (в зависимости от расположения прямого угла) → теорема Пифагора.
3. Известны два угла и одна сторона → теорема синусов.
4. Известны координаты вершин → формула расстояния.

В любом из этих случаев полезно подставить числа в онлайн-калькулятор – он подтвердит ручной результат.