Как найти вторую сторону треугольника – все способы

Чтобы найти неизвестную сторону треугольника, необходимо знать как минимум два других параметра: длины сторон, углы, площадь или высоту. В прямоугольном треугольнике достаточно теоремы Пифагора, в произвольном пригодятся теоремы косинусов и синусов. Ниже – все работающие способы с примерами расчёта.

Онлайн-калькулятор для нахождения стороны треугольника

Универсальный инструмент позволяет быстро вычислить длину неизвестной стороны в зависимости от имеющихся данных. Выберите нужный сценарий: две стороны и угол, одна сторона и два угла, площадь и высота и другие.

Достаточно подставить известные значения, и калькулятор автоматически выполнит вычисление по соответствующей формуле. Результат округляется до двух знаков после запятой.

Все углы принимаются в градусах, длина стороны выражается в тех же единицах, что и исходные данные.

Прямоугольный треугольник: теорема Пифагора

Если один из углов равен 90°, связь между сторонами описывается классическим равенством:

c² = a² + b²

где c – гипотенуза (против прямого угла), a и b – катеты.

• Чтобы найти гипотенузу, зная оба катета: c = √(a² + b²)
• Чтобы найти катет, зная гипотенузу и другой катет: a = √(c² – b²)

Пример. Катеты 6 см и 8 см. Гипотенуза = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.

Пример. Гипотенуза 13 м, катет 5 м. Второй катет = √(13² – 5²) = √(169 – 25) = √144 = 12 м.

Если треугольник не прямоугольный, переходите к следующим методам.

Как найти сторону, если известны две стороны и угол между ними?

Для произвольного треугольника действует теорема косинусов. Она обобщает теорему Пифагора на случай любого угла.

Формула для стороны a, лежащей против угла A: a² = b² + c² – 2bc·cos(α) где α – угол между сторонами b и c.

Важно: угол должен быть выражен в градусах, а его косинус вычисляется с помощью калькулятора или таблиц.

Пример. b = 7, c = 10, угол α = 60°. cos 60° = 0,5. a² = 49 + 100 – 2·7·10·0,5 = 149 – 70 = 79 → a = √79 ≈ 8,89.

Если известны две стороны и угол не между ними, одного косинуса недостаточно – потребуется теорема синусов (см. далее).

Как найти сторону по стороне и двум углам?

Теорема синусов связывает стороны и противолежащие углы:

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R.

Для нахождения неизвестной стороны достаточно знать одну сторону и два угла – например, сторону a и углы B и C. Тогда третий угол A = 180° – B – C, и искомая сторона b = a·(sin B / sin A).

Пример. Известна сторона a = 8, угол B = 45°, угол C = 60°. A = 180° – 45° – 60° = 75°. sin 45° ≈ 0,7071, sin 75° ≈ 0,9659. b = 8 · (0,7071 / 0,9659) ≈ 8 · 0,732 = 5,86.

Если даны два угла и сторона между ними, сначала находят третий угол, а затем по той же пропорции вычисляют оставшиеся стороны.

Вычисление стороны через площадь треугольника

Если известна площадь S и высота h, опущенная на сторону a, сторона a определяется элементарно:

a = 2S / h.

Если площадь известна, а также две стороны и угол между ними, можно выразить неизвестную сторону из формулы S = ½·b·c·sin α. Например, зная S, сторону b и угол α, находим c = 2S / (b·sin α).

Пример. S = 30 см², b = 10 см, угол между b и c равен 30° (sin 30° = 0,5). c = 2·30 / (10·0,5) = 60 / 5 = 12 см.

Этот способ удобен, когда по условию задачи дана площадь.

Особые случаи: равнобедренный и равносторонний треугольник

Равнобедренный треугольник (две стороны равны). Если известны основание d и высота h, проведённая к нему, боковая сторона a вычисляется по теореме Пифагора для половинки основания:

a = √( (d/2)² + h² ).

Пример. Основание 8 см, высота 3 см. a = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 см.

Если известен угол при вершине β и основание, боковую сторону можно найти как a = d / (2·sin(β/2)).

Равносторонний треугольник. Все стороны равны, и все углы по 60°. Если известна высота h, сторона a = 2h / √3 ≈ 1,1547·h. Если известна площадь S, a = √(4S / √3).