Как находить длину меньшей дуги окружности

13 мая 2026 г.

Длина дуги окружности – это расстояние между двумя точками, лежащими на окружности, измеренное вдоль её кривизны. Чтобы вычислить длину именно меньшей дуги, нужно знать радиус окружности и величину центрального угла, который эта дуга стягивает.

Материал носит ознакомительный характер, для сложных инженерных расчетов опирайтесь на техническую документацию.

Формула длины меньшей дуги

Существует два основных способа найти длину дуги в зависимости от того, в каких единицах выражен центральный угол.

Через градусы

Если центральный угол (α) задан в градусах, используется формула:

$$L = \frac{\pi \cdot R \cdot \alpha}{180^\circ}$$

Где:

L – длина дуги;
π (пи) – математическая константа, примерно равная 3,14159;
R – радиус окружности;
α – центральный угол в градусах.

Поскольку полная окружность составляет 360°, длина дуги – это лишь часть всей длины окружности ($2 \cdot \pi \cdot R$), соответствующая доле угла $\frac{\alpha}{360}$.

Через радианы

Если центральный угол (θ) выражен в радианах, расчет упрощается:

$$L = R \cdot \theta$$

В данном случае не требуются дополнительные коэффициенты, так как радианы уже связаны с длиной радиуса.

Пример расчета

Допустим, необходимо найти длину дуги окружности, радиус которой составляет 10 см, а центральный угол равен 60°.

Подставляем значения в формулу: $L = \frac{3,14159 \cdot 10 \cdot 60}{180}$.
Сокращаем дробь: $60/180 = 1/3$.
Получаем: $L = \frac{3,14159 \cdot 10}{3} \approx 10,47$ см.

Пошаговый алгоритм нахождения

Чтобы исключить ошибки при вычислении, следуйте этому алгоритму:

Определите радиус (R). Если известен диаметр (D), разделите его на два.
Замерьте центральный угол (α). Убедитесь, что он меньше 180°. Если по условию задачи угол больше этой величины, вы ищете не малую, а большую дугу (или нужно вычесть заданный угол из 360°).
Выберите формулу. Используйте вариант с градусами или радианами в зависимости от исходных данных.
Произведите вычисления. Используйте калькулятор, чтобы избежать ошибок при умножении на число Пи.

Если исходные данные включают дополнительные параметры, например, хорду, соединяющую концы дуги, сначала найдите радиус окружности через уравнение хорды, а затем уже приступайте к поиску длины дуги. Для сложных случаев часто удобнее воспользоваться автоматизированным инструментом, представленным выше.

Часто задаваемые вопросы

В чем разница между малой и большой дугой?

Окружность, разделенная двумя точками, всегда образует две дуги. Меньшая дуга имеет центральный угол меньше 180 градусов, а большая – больше. Если угол равен 180 градусов, дуги называются полуокружностями.

Можно ли найти длину дуги без радиуса, зная только диаметр?

Да, можно. Просто замените радиус (R) в формуле на половину диаметра (D/2). Тогда формула примет вид: L = (π × D × α) / 360.

Что делать, если угол задан в радианах, а не в градусах?

Если центральный угол задан в радианах, формула становится еще проще: L = R × θ, где R – радиус окружности, а θ – центральный угол в радианах.

Почему для точных расчетов нельзя округлять число Пи до 3?

Использование значения 3 вместо более точного 3,14 или 3,14159 приводит к существенной погрешности, особенно при вычислении дуг окружностей большого радиуса. Для инженерных задач рекомендуется использовать хотя бы четыре знака после запятой.