Градусы в значения

Как пользоваться калькулятором

1. Введите угол в градусах в поле ввода (например, 45, 30, 60, 90)
2. Выберите функцию которую нужно вычислить: sin, cos, tg или ctg
3. Получите результат — калькулятор покажет точное значение с заданной точностью
4. Дополнительно можно увидеть значение угла в радианах

Калькулятор автоматически обрабатывает отрицательные углы и углы больше 360°, приводя их к стандартному диапазону.

Основные тригонометрические функции

Синус (sin)

Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Значения синуса находятся в диапазоне от -1 до 1.

Табличные значения синуса:

Косинус (cos)

Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Как и синус, значения косинуса лежат в интервале [-1; 1].

Табличные значения косинуса:

Тангенс (tg)

Тангенс — это отношение синуса к косинусу угла (или отношение противолежащего катета к прилежащему). Значения могут быть любыми действительными числами.

Формула: tg(α) = sin(α) / cos(α)

Табличные значения тангенса:

Котангенс (ctg)

Котангенс — это величина, обратная тангенсу, или отношение косинуса к синусу.

Формула: ctg(α) = cos(α) / sin(α) = 1 / tg(α)

Как производится расчет

Перевод градусов в радианы

Большинство математических функций работают с углами в радианах. Формула перевода:

радианы = градусы × π / 180

Пример: переведем 60° в радианы

• 60 × 3,14159 / 180 ≈ 1,047 радиан (или π/3)

Вычисление тригонометрических значений

После перевода в радианы используются математические ряды (ряд Тейлора) или специальные алгоритмы для вычисления функций:

Пример расчета sin(30°):

1. Переводим в радианы: 30° = π/6 ≈ 0,524 рад
2. Применяем формулу или используем табличное значение
3. Результат: sin(30°) = 0,5

Пример расчета tg(45°):

1. Переводим в радианы: 45° = π/4 ≈ 0,785 рад
2. tg(45°) = sin(45°) / cos(45°) = (√2/2) / (√2/2) = 1
3. Результат: tg(45°) = 1

Ключевые термины

Градус — единица измерения плоского угла. Полный оборот составляет 360°.

Радиан — угол, при котором длина дуги окружности равна её радиусу. В одном радиане примерно 57,3°.

Период функции — интервал, через который функция повторяет свои значения. Для sin и cos период равен 360° (2π), для tg и ctg — 180° (π).

Четверти координатной плоскости — деление плоскости на 4 части, где тригонометрические функции имеют разные знаки:

• I четверть (0°–90°): все функции положительны
• II четверть (90°–180°): sin положителен, cos и tg отрицательны
• III четверть (180°–270°): tg положителен, sin и cos отрицательны
• IV четверть (270°–360°): cos положителен, sin и tg отрицательны

Практическое применение

Строительство и архитектура

Расчет углов наклона крыш, лестниц, определение высоты зданий по углу визирования.

Пример: чтобы найти высоту здания, зная расстояние до него (50 м) и угол возвышения (30°):

• высота = расстояние × tg(30°) = 50 × 0,577 ≈ 28,9 м

Навигация и геодезия

Определение координат, расчет расстояний на местности, азимуты направлений.

Физика и механика

Разложение сил на компоненты, расчет траекторий движения, колебания и волны.

Компьютерная графика

Вращение объектов, расчет освещения, создание анимаций.

Типичные ошибки при работе с градусами

Путаница между градусами и радианами Используйте калькулятор с явным указанием единиц измерения или всегда проверяйте настройки.

Деление на ноль Помните, что tg(90°), tg(270°), ctg(0°), ctg(180°) не определены.

Неправильный знак результата Обращайте внимание на четверть, в которой находится угол — это определяет знак функции.

Округление промежуточных результатов Используйте максимальную точность на всех этапах расчета, округляйте только финальный результат.

Полезные тригонометрические соотношения

Основное тригонометрическое тождество: sin²(α) + cos²(α) = 1

Формулы приведения:

• sin(90° - α) = cos(α)
• cos(90° - α) = sin(α)
• tg(α) × ctg(α) = 1

Формулы двойного угла:

• sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
• cos(2α) = cos²(α) - sin²(α)

Обратите внимание: для инженерных расчетов рекомендуется использовать не менее 6 значащих цифр. Для учебных задач обычно достаточно 3–4 знаков после запятой.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.