Рассчитать ряд
Числовой ряд — это последовательность чисел, расположенных в определенном порядке по заданному правилу. Расчет рядов необходим в математическом …
Перейти к калькуляторуОпределение геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый член получается умножением предыдущего на константу, называемую знаменателем прогрессии (обозначается как q).
Общий вид:
$$a_n = a_1 \times q^{n-1}$$
где:
- a₁ — первый член прогрессии
- q — знаменатель прогрессии (q ≠ 0)
- n — номер члена прогрессии
Примеры геометрических прогрессий
| Прогрессия | a₁ | q | Члены |
|---|---|---|---|
| Увеличивающаяся | 2 | 3 | 2, 6, 18, 54, … |
| Уменьшающаяся | 100 | 0,5 | 100, 50, 25, 12,5, … |
| Чередующаяся | 1 | −2 | 1, −2, 4, −8, 16, … |
Формула суммы геометрической прогрессии
Сумма первых n членов геометрической прогрессии зависит от значения знаменателя q:
При q ≠ 1
$$S_n = a_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$$
или эквивалентная формула:
$$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$$
При q = 1
$$S_n = a_1 \times n$$
(все члены прогрессии одинаковые, поэтому сумма — это просто первый член, умноженный на количество членов)
Как пользоваться формулой
Пошаговая инструкция расчета суммы геометрической прогрессии:
- Определи первый член (a₁) — это первое число в последовательности
- Найди знаменатель (q) — раздели любой член на предыдущий
- Установи количество членов (n) — сколько членов суммировать
- Подставь значения в формулу (выбери нужную в зависимости от q)
- Вычисли результат
Примеры расчетов
Пример 1: Увеличивающаяся прогрессия
Задача: найти сумму первых 5 членов прогрессии: 2, 6, 18, 54, 162
Решение:
- a₁ = 2
- q = 6 / 2 = 3
- n = 5
$$S_5 = 2 \times \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \times \frac{1 - 243}{-2} = 2 \times \frac{-242}{-2} = 2 \times 121 = 242$$
Ответ: 242
Проверка: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242 ✓
Пример 2: Уменьшающаяся прогрессия
Задача: сумма первых 4 членов: 1000, 100, 10, 1
Решение:
- a₁ = 1000
- q = 100 / 1000 = 0,1
- n = 4
$$S_4 = 1000 \times \frac{1 - 0,1^4}{1 - 0,1} = 1000 \times \frac{1 - 0,0001}{0,9} = 1000 \times \frac{0,9999}{0,9} = 1000 \times 1,111 = 1111$$
Ответ: 1111
Пример 3: Отрицательный знаменатель
Задача: сумма первых 6 членов: 1, −2, 4, −8, 16, −32
Решение:
- a₁ = 1
- q = −2 / 1 = −2
- n = 6
$$S_6 = 1 \times \frac{1 - (-2)^6}{1 - (-2)} = \frac{1 - 64}{3} = \frac{-63}{3} = -21$$
Ответ: −21
Проверка: 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 = −21 ✓
Бесконечная геометрическая прогрессия
Если знаменатель q удовлетворяет условию |q| < 1, бесконечная геометрическая прогрессия имеет конечную сумму:
$$S = \frac{a_1}{1 - q}$$
Пример бесконечной суммы
Прогрессия: 1, 0,5, 0,25, 0,125, …
- a₁ = 1
- q = 0,5 (так как |0,5| < 1)
$$S = \frac{1}{1 - 0,5} = \frac{1}{0,5} = 2$$
Сумма всех членов этой бесконечной прогрессии равна ровно 2.
Важно: если |q| ≥ 1, бесконечная прогрессия расходится (сумма не существует или бесконечна).
Практическое применение
Финансы: сложные проценты
Сумма на счете с ежегодным начислением n% образует геометрическую прогрессию с q = (1 + n/100).
Пример: вклад 10000 рублей под 10% годовых на 5 лет.
Сумма каждого года: 10000, 11000, 12100, 13310, 14641 (это геометрическая прогрессия с q = 1,1)
Общая сумма за 5 лет: $$S_5 = 10000 \times \frac{1 - 1,1^5}{1 - 1,1} = 10000 \times \frac{1 - 1,61051}{-0,1} = 61051$$ рублей
Физика: радиоактивный распад
Количество оставшегося вещества образует геометрическую прогрессию с q < 1 (период полураспада).
Информатика: сложность алгоритмов
Некоторые алгоритмы «разделяй и властвуй» генерируют геометрические суммы при анализе временной сложности.
Типичные ошибки
| Ошибка | Пояснение |
|---|---|
| Забывают про q = 1 | Когда q = 1, используй формулу S = a₁ × n, а не формулу деления на 0 |
| Неправильно находят q | q = aₙ / aₙ₋₁, а не разность членов (это для арифметической прогрессии) |
| Путают степень | Формула содержит q в степени n, а не n в степени q |
| Игнорируют знак q | При отрицательном q сумма может быть отрицательной или чередующейся |
| Ошибка в скобках | Важен порядок действий: сначала вычисли степень, потом вычитание, потом деление |
Дополнительные свойства
Среднее геометрическое: каждый член (кроме первого и последнего) является средним геометрическим своих соседей: $$a_n = \sqrt{a_{n-1} \times a_{n+1}}$$
Произведение членов: произведение симметричных членов одинаково: $$a_1 \times a_n = a_2 \times a_{n-1} = …$$
Свойство суммы: если прогрессия возрастающая (q > 1), то каждый следующий последний член больше суммы всех предыдущих членов.
Геометрическая сумма — мощный инструмент для анализа последовательностей и прогнозирования роста. Используй формулу в зависимости от значения знаменателя и помни про частный случай при q = 1. Онлайн-калькулятор выше поможет проверить расчеты за считанные секунды.
Часто задаваемые вопросы
Что такое геометрическая сумма?
Геометрическая сумма (или сумма геометрической прогрессии) — это сумма членов последовательности, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель прогрессии).
Как найти сумму геометрической прогрессии?
Используй формулу S = a₁ × (1 − qⁿ) / (1 − q), где a₁ — первый член, q — знаменатель, n — количество членов. Если q = 1, то S = a₁ × n.
Какая разница между геометрической и арифметической суммой?
В арифметической прогрессии каждый член больше предыдущего на одно и то же число (разность), в геометрической — на одно и то же число раз (знаменатель).
Что такое бесконечная геометрическая прогрессия?
Если знаменатель |q| < 1, бесконечная геометрическая прогрессия имеет конечную сумму: S = a₁ / (1 − q). При |q| ≥ 1 сумма расходится и не существует.
Где применяется геометрическая прогрессия?
В финансах (сложные проценты), физике (радиоактивный распад), информатике (алгоритмы), биологии (размножение микроорганизмов) и других науках.
Смотрите также
Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.