Обновлено: 5 мая 2026 г.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем. Для нахождения суммы первых n членов такой последовательности существуют готовые математические формулы, которые помогают избежать пошагового сложения всех чисел.

Основная формула суммы геометрической прогрессии

Чтобы рассчитать сумму первых n членов ($S_n$), необходимо знать три параметра:

Первый член последовательности ($a_1$).
Знаменатель прогрессии ($q$).
Количество суммируемых членов ($n$).

Для знаменателя $q \neq 1$ используется следующая формула:

$$S_n = \frac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}$$

Также эту формулу можно записать в эквивалентном виде:

$$S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q}$$

Обе записи математически верны. Второй вариант удобнее использовать, если знаменатель прогрессии $q$ меньше единицы.

Случай, когда q = 1

Если знаменатель прогрессии равен 1, то последовательность выглядит как набор одинаковых чисел ($a_1, a_1, a_1, \dots$). В этом частном случае формула упрощается до:

$$S_n = a_1 \cdot n$$

Алгоритм расчета на примере

Рассмотрим задачу: найдите сумму первых 5 членов прогрессии, где первый член $a_1 = 3$, а знаменатель $q = 2$.

Определяем переменные: $a_1 = 3$, $q = 2$, $n = 5$.
Подставляем в формулу: $S_5 = \frac{3 \cdot (2^5 - 1)}{2 - 1}$.
Вычисляем: $2^5 = 32$. $S_5 = \frac{3 \cdot (32 - 1)}{1} = 3 \cdot 31 = 93$.

Сумма первых пяти членов равна 93. Проверка: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93.

Когда знаменатель прогрессии – дробь

Если знаменатель $q$ является дробным числом (например, $1/2$ или $0{,}5$), последовательность убывает. Для расчета здесь лучше подходит вторая вариация формулы:

$$S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q}$$

Пример: Найти сумму 3 членов прогрессии, где $a_1 = 8$, $q = 0{,}5$.

$S_3 = \frac{8 \cdot (1 - 0{,}5^3)}{1 - 0{,}5} = \frac{8 \cdot (1 - 0{,}125)}{0{,}5} = \frac{8 \cdot 0{,}875}{0{,}5} = \frac{7}{0{,}5} = 14$.

Дисклеймер: представленные формулы носят справочный характер и предназначены для учебных целей.

Особенности вычислений

При работе с большими значениями $n$ результат может стать очень большим числом (при $q > 1$) или стремиться к определенному значению (при $|q| < 1$).

Если $|q| < 1$: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к конечному пределу. Формула суммы бесконечного ряда выглядит значительно проще: $S = \frac{a_1}{1 - q}$.
Ошибки знаков: Внимательно следите за знаком знаменателя. Если $q$ отрицательное, то при возведении в четную или нечетную степень значение будет менять знак.

Используйте калькулятор выше, чтобы быстро проверить правильность своих расчетов для любого количества членов и знаменателя.

Часто задаваемые вопросы

Что такое знаменатель геометрической прогрессии?

Знаменатель (обозначается буквой q) – это число, на которое умножают каждый предыдущий член последовательности, чтобы получить следующий. Например, если ряд чисел выглядит как 2, 6, 18, то каждый шаг мы умножаем на 3. Значит, знаменатель q = 3.

Можно ли использовать эту формулу, если знаменатель q равен 1?

Нет, стандартная формула суммы требует, чтобы q не равнялось 1. Если знаменатель равен 1, прогрессия превращается в набор одинаковых чисел (например, 5, 5, 5, 5). В таком случае сумма первых n членов просто равна произведению первого члена на количество элементов: Sn = a1 * n.

Что делать, если неизвестен знаменатель q?

Если известны два соседних члена прогрессии, q можно найти, разделив любой член (кроме первого) на предыдущий: q = an / an-1. Если даны другие параметры, например, первый и десятый член, знаменатель находится через формулу n-го члена: an = a1 * q^(n-1).

В чем разница между арифметической и геометрической прогрессиями?

В арифметической прогрессии члены увеличиваются или уменьшаются путем прибавления одного и того же числа (разности). В геометрической прогрессии члены получают путем умножения на одно и то же число (знаменатель), что ведет к гораздо более быстрому росту или убыванию.