Формула вычисления радиуса вписанной окружности
Вписанная окружность – это круг, который касается всех сторон многоугольника. Основная величина, которую требуется найти для решения геометрических задач – это радиус вписанной окружности ($r$). Метод расчета зависит от типа фигуры: для произвольного треугольника формула одна, для прямоугольного или равностороннего – упрощенные варианты.
Информация носит справочный характер и предназначена для помощи в решении геометрических задач.
Формула радиуса для произвольного треугольника
Для любого треугольника со сторонами $a, b, c$, площадью $S$ и полупериметром $p$ справедлива универсальная зависимость:
$$r = \frac{S}{p}$$Где:
- $S$ – площадь треугольника.
- $p$ – полупериметр, который рассчитывается как $\frac{a + b + c}{2}$.
Если площади нет, но известны длины сторон, можно вычислить радиус через формулу Герона:
$$r = \sqrt{\frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{p}}$$Калькулятор выше позволяет рассчитать радиус вписанной окружности для треугольника, если известны длины его сторон. Инструмент автоматически вычисляет полупериметр и применяет формулу площади Герона для получения результата.
Прямоугольный треугольник
В прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ формула упрощается. Благодаря тому, что окружность касается сторон в точках, образующих квадрат в углу, расчет выглядит так:
$$r = \frac{a + b - c}{2}$$Этот вариант значительно ускоряет вычисления, так как не требует предварительного нахождения площади фигуры.
Равносторонний треугольник
В равностороннем треугольнике все стороны равны ($a = b = c$). Формула связывает радиус напрямую со стороной $a$:
$$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$$Эта же формула может быть выражена через высоту треугольника $h$:
$$r = \frac{1}{3}h$$Радиус вписанной окружности в многоугольник
Для любого описанного многоугольника (то есть такого, вокруг которого можно описать окружность) связь между радиусом, площадью и полупериметром сохраняется:
$$S = p \cdot r$$Отсюда следует:
$$r = \frac{S}{p}$$Это правило применимо не ко всем многоугольникам, а только к тем, в которые в принципе можно вписать окружность. Условие существования вписанной окружности для четырехугольника: суммы противоположных сторон четырехугольника должны быть равны ($a + c = b + d$).