Формула для расчета работы

Когда вы поднимаете тяжёлую сумку на пятый этаж или толкаете автомобиль с заглохшим двигателем, вы совершаете работу. В быту слово «работа» означает труд, но в физике у него точное определение и строгая формула для расчета работы, которая связывает силу, перемещение и угол между ними.

Что такое работа в физике

Механическая работа – это физическая величина, характеризующая действие силы на тело при его перемещении. Если сила не вызывает перемещения или направлена перпендикулярно движению – работа равна нулю.

Пример: вы держите тяжёлый чемодан на вытянутой руке, стоя на месте. Мышцы устают, но с точки зрения физики механическая работа не совершается – перемещение равно нулю. Но как только вы начинаете идти – работа появляется.

Основная формула для расчета работы

Классическая формула механической работы:

A = F · s · cos(α)

Где:

• A – работа (Дж)
• F – модуль приложенной силы (Н)
• s – модуль перемещения (м)
• α – угол между вектором силы и вектором перемещения

Знак работы зависит от угла α:

Частные случаи формулы

1. Сила направлена вдоль движения (α = 0°):

A = F · s

Самый распространённый случай в задачах. Пример: тянут сани по снегу горизонтально.

2. Сила перпендикулярна перемещению (α = 90°):

A = 0

Пример: работа силы нормальной реакции опоры при движении по горизонтальной поверхности, работа центростремительной силы при равномерном движении по окружности.

3. Сила направлена против движения (α = 180°):

A = −F · s

Пример: работа силы трения скольжения, работа силы сопротивления воздуха.

Единицы измерения работы

В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж):

1 Дж = 1 Н · 1 м

Один джоуль – это работа силы 1 ньютон при перемещении тела на 1 метр в направлении действия силы.

Кратные и дольные единицы:

Внесистемные единицы: киловатт-час (1 кВт·ч = 3 600 000 Дж), калория (1 кал ≈ 4,187 Дж), электронвольт (1 эВ ≈ 1,602 × 10⁻¹⁹ Дж).

Как рассчитать работу для разных видов сил

Работа силы тяжести

Сила тяжести – потенциальная сила, её работа зависит только от начальной и конечной высоты:

A = m · g · (h₁ − h₂) = m · g · Δh

Где:

• m – масса тела (кг)
• g – ускорение свободного падения (≈ 9,8 м/с²)
• h₁ – начальная высота
• h₂ – конечная высота

При опускании тела (h₁ > h₂) работа силы тяжести положительна, при поднятии (h₁ < h₂) – отрицательна. Если тело вернулось на ту же высоту, суммарная работа силы тяжести на замкнутом пути равна нулю.

Работа силы упругости

Для пружины, подчиняющейся закону Гука:

A = (k · x₁²) / 2 − (k · x₂²) / 2

Где:

• k – жёсткость пружины (Н/м)
• x₁, x₂ – начальное и конечное удлинение (м)

Работа силы упругости, как и силы тяжести, зависит только от начального и конечного положения – это потенциальная сила.

Работа силы трения

Сила трения скольжения всегда направлена против движения, поэтому её работа:

A = −F_тр · s = −μ · m · g · s

Где:

• μ – коэффициент трения скольжения
• s – пройденный путь (не перемещение!)

В отличие от силы тяжести, работа силы трения зависит от длины пути, а не от начальной и конечной точек. На замкнутой траектории работа силы трения не равна нулю – это непотенциальная (диссипативная) сила.

Работа газа при расширении

В термодинамике газ совершает работу при изменении объёма:

A = p · ΔV (при постоянном давлении)

Где:

• p – давление газа (Па)
• ΔV – изменение объёма (м³)

При расширении (ΔV > 0) газ совершает положительную работу, при сжатии (ΔV < 0) – отрицательную. Для изобарного процесса формула выше точна, для изотермического:

A = ν · R · T · ln(V₂ / V₁)

Где ν – количество вещества, R – универсальная газовая постоянная (8,314 Дж/(моль·К)), T – температура.

Связь работы и мощности

Мощность – это скорость совершения работы:

P = A / t

Где:

• P – мощность (Вт)
• A – работа (Дж)
• t – время (с)

Отсюда работа через мощность:

A = P · t

Пример: двигатель мощностью 50 кВт за 1 час совершает работу A = 50 000 × 3 600 = 180 000 000 Дж = 180 МДж.

При равномерном движении мощность можно выразить через скорость:

P = F · v

Отсюда формула для расчета работы при равномерном движении:

A = F · v · t

Теорема о кинетической энергии

Работа равнодействующей всех сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии:

A = Eк2 − Eк1 = (m · v₂²) / 2 − (m · v₁²) / 2

Это универсальный способ найти работу: если известны начальная и конечная скорости тела, работа равнодействующей определяется однозначно, независимо от того, какие именно силы действовали.

Полезная работа и КПД

В реальных механизмах часть затраченной работы идёт на преодоление трения, нагрев, деформацию. Поэтому различают:

• Затраченная работа (A_затр) – полная работа, совершённая двигателем или человеком
• Полезная работа (A_полезн) – та часть, которая пошла на достижение цели

Коэффициент полезного действия:

η = (Aполезн / Aзатр) × 100%

Пример: при подъёме груза массой 100 кг на высоту 3 м полезная работа A_полезн = 100 × 9,8 × 3 = 2 940 Дж. Если при этом затрачено 3 500 Дж (учитывая трение в блоке), то КПД = (2 940 / 3 500) × 100% ≈ 84%.

Работа переменной силы

Если сила меняется вдоль траектории, формула A = F · s · cos(α) неприменима. Работа вычисляется через интеграл:

A = ∫ F(x) · cos(α) dx (от x₁ до x₂)

Графически работа равна площади фигуры под графиком зависимости проекции силы на направление перемещения от координаты.

Частный случай – сила растёт линейно (пружина):

A = F_ср · s = (F₁ + F₂) / 2 · s

Где F₁ и F₂ – значения силы в начале и конце пути.

Примеры расчёта работы

Пример 1. Работа при толкании шкафа

Шкаф массой 80 кг толкают по полу на 5 м. Коэффициент трения μ = 0,3. Какую работу совершает человек, если толкает горизонтально?

Решение:

1. Сила трения: F_тр = μ · m · g = 0,3 × 80 × 9,8 = 235,2 Н
2. При равномерном движении сила тяги равна силе трения: F = 235,2 Н
3. Работа: A = F · s = 235,2 × 5 = 1 176 Дж

Пример 2. Работа силы тяжести при подъёме

Гирю массой 16 кг подняли с пола на высоту 2 м. Какую работу совершила сила тяжести?

Решение: A = m · g · (h₁ − h₂) = 16 × 9,8 × (0 − 2) = −313,6 Дж

Работа силы тяжести отрицательна, так как сила направлена вниз, а перемещение – вверх.

Пример 3. Работа под углом к горизонту

Санки тянут за верёвку с силой 50 Н под углом 30° к горизонту на расстояние 20 м.

Решение: A = F · s · cos(α) = 50 × 20 × cos(30°) = 50 × 20 × 0,866 = 866 Дж

Работу совершает только горизонтальная составляющая силы: F_x = F · cos(30°) ≈ 43,3 Н.

Приведённые формулы соответствуют классической механике. Для релятивистских скоростей и квантовых систем применяются другие модели.