Двоичное счисление: переведите число

Что такое двоичное счисление

Двоичная система счисления — позиционная система, в которой для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1. Каждый разряд числа соответствует степени двойки. Это основа работы всех цифровых устройств: компьютеров, смартфонов, микроконтроллеров.

В десятичной системе, к которой мы привыкли, используется 10 цифр (0–9), и каждый разряд — степень десяти. В двоичной системе принцип тот же, но основание — 2. Например:

• 1011₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀
• 10101₂ = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21₁₀

Двоичное счисление — универсальный язык вычислительной техники. Любые данные (текст, изображения, звук, видео) в конечном итоге кодируются последовательностями нулей и единиц.

Зачем переводить числа между системами счисления

Программирование: работа с битовыми операциями, масками, флагами, низкоуровневым кодом требует понимания двоичного представления чисел.

Обучение: студенты информатики, математики, электроники изучают системы счисления для понимания архитектуры компьютеров.

Отладка и анализ: при работе с памятью, регистрами процессора, сетевыми протоколами необходимо читать и интерпретировать двоичные и шестнадцатеричные значения.

Криптография и безопасность: алгоритмы шифрования оперируют битами, и понимание двоичной системы критично для анализа защищённости.

Электроника: разработка микросхем, ПЛИС, работа с цифровыми сигналами требуют перевода между системами для настройки и тестирования.

Как перевести десятичное число в двоичное

Метод деления на 2

Самый распространённый способ для целых чисел:

1. Разделите исходное число на 2.
2. Запишите остаток (0 или 1).
3. Если частное больше 0, повторите операцию с частным.
4. Когда частное станет 0, запишите остатки в обратном порядке (снизу вверх).

Пример: переведём 25₁₀ в двоичную систему.

Читаем остатки снизу вверх: 11001₂.

Проверка: 1×16 + 1×8 + 0×4 + 0×2 + 1×1 = 16 + 8 + 1 = 25₁₀ ✓

Метод вычитания степеней двойки

Альтернативный способ:

1. Найдите наибольшую степень двойки, не превосходящую число.
2. Вычтите её, поставьте 1 в соответствующий разряд.
3. Повторяйте для остатка.
4. В пропущенных разрядах ставьте 0.

Пример: 50₁₀ в двоичную.

• Ближайшая степень: 2⁵ = 32. 50 − 32 = 18. Первая 1 в 6-м разряде (считая справа с 1).
• 2⁴ = 16. 18 − 16 = 2. Вторая 1 в 5-м разряде.
• 2³ = 8 > 2 → 0 в 4-м разряде.
• 2² = 4 > 2 → 0 в 3-м разряде.
• 2¹ = 2. 2 − 2 = 0. Третья 1 во 2-м разряде.
• 2⁰ = 1 > 0 → 0 в 1-м разряде.

Результат: 110010₂.

Как перевести двоичное число в десятичное

Метод разложения по степеням

Умножьте каждую цифру (бит) на 2 в степени её позиции (нумерация справа, начиная с 0) и сложите:

Пример: 1101101₂ в десятичную.

Разряды (справа налево): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

1×2⁶ + 1×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ =
= 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 109₁₀

Схема Горнера

Эффективный алгоритм для программирования:

1. Начните с крайнего левого бита.
2. Умножьте текущий результат на 2 и прибавьте следующий бит.
3. Повторяйте до конца.

Пример: 1011₂.

• Начало: 0
• 0×2 + 1 = 1
• 1×2 + 0 = 2
• 2×2 + 1 = 5
• 5×2 + 1 = 11₁₀

Этот метод легко реализуется в коде и работает быстрее для больших чисел.

Перевод дробных чисел

Из десятичной в двоичную

Целую и дробную части переводят отдельно. Для дробной части:

1. Умножьте дробь на 2.
2. Целая часть результата — следующая цифра двоичной дроби.
3. Оставьте дробную часть и повторяйте, пока она не станет 0 (или до нужной точности).

Пример: 0,625₁₀ в двоичную.

Результат: 0,101₂.

Полное число 5,625₁₀ = 101,101₂ (5₁₀ = 101₂).

Из двоичной в десятичную

Отрицательные степени двойки для разрядов после запятой:

Пример: 11,011₂.

11₂ = 2 + 1 = 3
0,011₂ = 0×2⁻¹ + 1×2⁻² + 1×2⁻³ = 0 + 0,25 + 0,125 = 0,375

Итого: 3,375₁₀.

Внимание: многие десятичные дроби (например, 0,1₁₀) не имеют точного двоичного представления и требуют округления.

Двоичная арифметика

Сложение

Правила:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 (0 с переносом 1)

Пример: 1011₂ + 110₂.

   1011
+   110
-------
  10001

Проверка: 11₁₀ + 6₁₀ = 17₁₀ = 10001₂ ✓

Вычитание

Правила:

• 0 − 0 = 0
• 1 − 0 = 1
• 1 − 1 = 0
• 0 − 1 = 1 (с займом 1 из старшего разряда)

Пример: 1101₂ − 101₂.

  1101
-  101
------
  1000

Проверка: 13₁₀ − 5₁₀ = 8₁₀ = 1000₂ ✓

Умножение и деление

Умножение выполняется как в столбик, но проще: умножение на 0 даёт 0, на 1 — само число.

Деление аналогично десятичному: вычитаем делитель со сдвигом, записываем частное.

Представление отрицательных чисел

Прямой код

Старший бит — знак (0 — плюс, 1 — минус), остальные — модуль числа.

Пример: 5₁₀ в 8 битах = 00000101₂, −5₁₀ = 10000101₂.

Недостаток: две формы нуля (00000000 и 10000000), сложность арифметики.

Дополнительный код (two’s complement)

Стандарт для компьютеров. Для получения:

1. Переведите модуль числа.
2. Инвертируйте все биты.
3. Прибавьте 1.

Пример: −13₁₀ в 8 битах.

• 13₁₀ = 00001101₂
• Инверсия: 11110010₂
• Прибавить 1: 11110011₂

Проверка: старший бит 1 (число отрицательное), обратная операция даёт 13₁₀.

Плюсы: один ноль, простое сложение/вычитание без проверки знака.

Быстрые степени двойки

Запомните для ускорения перевода:

2¹⁰ = 1024 ≈ 1000 — основа для приставок килобайт (КБ), мегабайт (МБ).

Связь с другими системами счисления

Восьмеричная система

Основание 8. Каждая восьмеричная цифра = 3 двоичных бита.

Пример: 75₈ = 111 101₂ = 61₁₀.

Применение: старые системы Unix, права доступа к файлам (chmod 755).

Шестнадцатеричная система

Основание 16. Цифры: 0–9, A–F (10–15). Каждая hex-цифра = 4 бита.

Пример: 2F₁₆ = 0010 1111₂ = 47₁₀.

Применение: адреса памяти, цвета в веб-дизайне (#FF5733), MAC-адреса.

Быстрый перевод: разбейте двоичное число на группы по 4 бита (справа) и замените каждую группу hex-цифрой.

11010110₂ → 1101 0110 → D6₁₆ (D = 13, 6 = 6).

Битовые операции

Двоичная система позволяет эффективно выполнять логические операции:

AND (И): 1 только если оба бита 1.
1011₂ AND 1101₂ = 1001₂

OR (ИЛИ): 1 если хотя бы один бит 1.
1011₂ OR 1101₂ = 1111₂

XOR (исключающее ИЛИ): 1 если биты различны.
1011₂ XOR 1101₂ = 0110₂

NOT (НЕ): инверсия всех битов.
NOT 1011₂ = 0100₂ (в 4-битном представлении)

Сдвиги: влево (×2), вправо (÷2).
1011₂ « 1 = 10110₂ (11₁₀ × 2 = 22₁₀)
1011₂ » 1 = 101₂ (11₁₀ ÷ 2 = 5₁₀)

Типичные ошибки при переводе

Забыли обратный порядок: при делении на 2 остатки записываются снизу вверх.

Неправильная нумерация разрядов: помните, что младший разряд имеет индекс 0, а не 1.

Потеря точности дробей: 0,1₁₀ = 0,0001100110011…₂ (бесконечная периодическая дробь). Округление неизбежно.

Путаница в дополнительном коде: для отрицательных чисел недостаточно изменить старший бит — нужна полная процедура.

Опечатки в двоичной записи: использование цифр 2–9. Проверяйте, что используются только 0 и 1.

Практические примеры

IPv4-адрес

192.168.1.1₁₀ в двоичной:

• 192₁₀ = 11000000₂
• 168₁₀ = 10101000₂
• 1₁₀ = 00000001₂

Полный адрес: 11000000.10101000.00000001.00000001₂

Маска подсети 255.255.255.0 = 11111111.11111111.11111111.00000000₂

RGB-цвет

Красный (#FF0000) в 24-битном двоичном: 111111110000000000000000₂

Каждый канал (R, G, B) — 8 бит (0–255).

Размер файла

1 МБ = 1024 КБ = 1024 × 1024 байт = 1 048 576 байт = 2²⁰ байт

В двоичной: 100000000000000000000₂ (20 нулей после единицы)

Инструменты и проверка

Калькулятор: используйте онлайн-конвертер для быстрого перевода и проверки расчётов.

Программирование: функции bin(), int(x, 2) в Python; parseInt(x, 2), toString(2) в JavaScript.

Таблицы соответствия: держите под рукой таблицу десятичных чисел 0–255 в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.

Двойная проверка: переведите результат обратно. Если получили исходное число — перевод верен.

Битовые калькуляторы: для операций AND, OR, XOR, сдвигов используйте специализированные инструменты.

Применение в реальной жизни

Сетевые технологии: подсети, маски, IP-адреса требуют понимания двоичной записи.

Компьютерная графика: пиксели, альфа-каналы, битовые карты оперируют двоичными значениями.

Криптография: AES, RSA, хеш-функции работают с битовыми последовательностями.

Игровая индустрия: флаги состояния объектов, коллизии, физика используют битовые маски.

Встроенные системы: микроконтроллеры Arduino, ESP32 программируются с учётом двоичных регистров.

Искусственный интеллект: нейронные сети на уровне железа оперируют битами для ускорения вычислений.

Заключение

Двоичное счисление — фундамент цифрового мира. Умение переводить числа между системами счисления — базовый навык для программистов, инженеров, студентов технических специальностей. Калькулятор автоматизирует рутинные операции, позволяя сосредоточиться на логике задачи, а понимание принципов перевода помогает избежать ошибок и глубже разбираться в работе вычислительной техники.

Освойте двоичную систему, и вы получите ключ к пониманию того, как компьютеры хранят, обрабатывают и передают информацию. Это знание открывает двери в мир низкоуровневого программирования, оптимизации алгоритмов, анализа безопасности и разработки аппаратного обеспечения.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.