Двоичная запись числа

Что такое двоичная запись числа

Двоичная запись числа — это представление чисел в позиционной системе счисления с основанием 2. В двоичной системе используются только две цифры: 0 и 1. Каждая позиция (разряд) числа соответствует степени двойки: младший разряд — 2⁰, следующий — 2¹, затем 2², 2³ и так далее.

Двоичная система — фундамент современных компьютерных технологий. Процессоры, оперативная память, жёсткие диски работают с двумя физическими состояниями: есть сигнал (1) или нет сигнала (0). Это делает двоичную систему идеальной для кодирования, хранения и обработки информации в цифровых устройствах.

В повседневной жизни мы используем десятичную систему (основание 10), но программисты, инженеры и специалисты по информационной безопасности постоянно работают с двоичной, шестнадцатеричной и восьмеричной системами.

Как перевести десятичное число в двоичную запись

Алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичную систему:

1. Делите число на 2 и записывайте остаток (0 или 1).
2. Полученное частное снова делите на 2, записывайте остаток.
3. Повторяйте, пока частное не станет равным 0.
4. Запишите остатки в обратном порядке (снизу вверх) — это и есть двоичная запись.

Пример: переведём число 25 в двоичную систему.

25 ÷ 2 = 12, остаток 1
12 ÷ 2 = 6,  остаток 0
6  ÷ 2 = 3,  остаток 0
3  ÷ 2 = 1,  остаток 1
1  ÷ 2 = 0,  остаток 1

Читаем остатки снизу вверх: 11001₂.

Проверка: 1×2⁴ + 1×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25₁₀ ✓

Перевод двоичного числа в десятичное

Для обратного перевода используйте метод разложения по степеням двойки:

1. Пронумеруйте разряды справа налево, начиная с 0.
2. Умножьте каждую двоичную цифру на 2 в степени её разряда.
3. Сложите все произведения.

Пример: переведём 1101₂ в десятичную систему.

Разряды:  3  2  1  0
Число:    1  1  0  1

1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀

Быстрый способ (метод Горнера): начните с левой цифры, умножайте на 2 и добавляйте следующую цифру.

Для 1101₂:

• (((1×2 + 1)×2 + 0)×2 + 1) = ((3×2 + 0)×2 + 1) = (6×2 + 1) = 13₁₀

Таблица двоичных чисел от 0 до 32

Закономерность: степени двойки (2, 4, 8, 16, 32…) в двоичной системе записываются как 1 с нулями: 10, 100, 1000, 10000, 100000.

Перевод дробных чисел в двоичную систему

Для дробной части используется метод умножения на 2:

1. Умножьте дробную часть на 2.
2. Запишите целую часть результата (0 или 1).
3. Повторяйте с новой дробной частью, пока она не станет 0 или не достигнете нужной точности.
4. Запишите целые части слева направо после двоичной точки.

Пример: переведём 0.375₁₀ в двоичную систему.

0.375 × 2 = 0.75  → целая часть 0
0.75  × 2 = 1.5   → целая часть 1
0.5   × 2 = 1.0   → целая часть 1

Результат: 0.011₂.

Проверка: 0×2⁻¹ + 1×2⁻² + 1×2⁻³ = 0 + 0.25 + 0.125 = 0.375₁₀ ✓

Смешанные числа: переводите целую и дробную части отдельно, затем объединяйте через точку. Например, 5.625₁₀ = 101.101₂.

Арифметические операции в двоичной системе

Сложение

Правила двоичного сложения:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 (0 с переносом 1 в следующий разряд)

Пример: 1011₂ + 110₂

    1011  (11₁₀)
  +  110  (6₁₀)
  ------
   10001  (17₁₀)

Поразрядно справа: 1+0=1, 1+1=10 (пишем 0, переносим 1), 0+1+1(перенос)=10 (пишем 0, переносим 1), 1+0+1(перенос)=10.

Вычитание

Правила:

• 0 − 0 = 0
• 1 − 0 = 1
• 1 − 1 = 0
• 0 − 1 = 1 (с займом 1 из старшего разряда, который становится 10₂ = 2₁₀)

Пример: 1101₂ − 101₂

   1101  (13₁₀)
  - 101  (5₁₀)
  -----
   1000  (8₁₀)

Умножение

Умножение аналогично десятичному, но проще: умножение на 1 даёт само число, на 0 — нуль.

Пример: 101₂ × 11₂

      101  (5₁₀)
    ×  11  (3₁₀)
    -----
      101
   + 101
   ------
     1111  (15₁₀)

Количество разрядов в двоичной записи

Для определения числа разрядов (битов) в двоичной записи десятичного числа n используйте формулу:

Количество разрядов = ⌊log₂(n)⌋ + 1

где ⌊ ⌋ — округление вниз до целого.

Примеры:

• Число 8: ⌊log₂(8)⌋ + 1 = 3 + 1 = 4 разряда (1000₂)
• Число 127: ⌊log₂(127)⌋ + 1 = 6 + 1 = 7 разрядов (1111111₂)
• Число 256: ⌊log₂(256)⌋ + 1 = 8 + 1 = 9 разрядов (100000000₂)

Диапазон чисел для n разрядов: от 0 до 2ⁿ − 1. Например, 8 битов представляют числа от 0 до 255₁₀.

Применение двоичной системы

Информатика и программирование

• Кодирование данных: текст (ASCII, UTF-8), изображения (пиксели), звук (дискретизация).
• Битовые операции: AND, OR, XOR, NOT, сдвиги — используются в алгоритмах шифрования, сжатия, графики.
• Типы данных: целочисленные типы (int8, int16, int32, int64) хранятся в двоичном виде, часто в дополнительном коде для отрицательных чисел.

Сетевые технологии

• IP-адреса: IPv4-адрес (например, 192.168.1.1) — четыре байта, записанные в десятичной системе, но маршрутизация работает с двоичным представлением и битовыми масками подсети.
• Маски подсети: например, 255.255.255.0 = 11111111.11111111.11111111.00000000₂.

Цифровая электроника

• Логические схемы: триггеры, регистры, счётчики оперируют двоичными сигналами.
• Память: каждый бит в RAM или SSD хранит 0 или 1 в виде заряда конденсатора или состояния транзистора.

Особенности и подводные камни

Периодические дроби

Некоторые конечные десятичные дроби становятся бесконечными в двоичной системе. Например:

• 0.1₁₀ = 0.0001100110011…₂ (период 0011)
• 0.2₁₀ = 0.001100110011…₂

Это вызывает ошибки округления в вычислениях с плавающей точкой: в программировании 0.1 + 0.2 ≠ 0.3 (результат ≈ 0.30000000000000004).

Дополнительный код (two’s complement)

Для представления отрицательных чисел в компьютерах используется дополнительный код:

1. Инвертируйте все биты числа.
2. Прибавьте 1.

Пример: −5 в 8-битном формате:

• 5₁₀ = 00000101₂
• Инверсия: 11111010₂
• +1: 11111011₂ — это −5 в дополнительном коде.

Проверка: 11111011₂ + 00000101₂ = 100000000₂ (переполнение, остаётся 0).

Знаковый разряд

В знаковом представлении старший бит определяет знак: 0 — положительное, 1 — отрицательное. Например, в 8 битах диапазон: от −128 до 127.

Системы счисления, связанные с двоичной

Восьмеричная система (octal)

Основание 8, цифры 0–7. Каждая восьмеричная цифра соответствует трём двоичным разрядам (триаде).

Пример: 75₈ = 111 101₂ (7₈=111₂, 5₈=101₂).

Используется в Unix-правах доступа: 755 означает rwxr-xr-x.

Шестнадцатеричная система (hexadecimal, hex)

Основание 16, цифры 0–9, A–F. Каждая hex-цифра соответствует четырём двоичным разрядам (тетраде).

Пример: 2F₁₆ = 0010 1111₂ (2₁₆=0010₂, F₁₆=1111₂).

Широко используется в программировании: цвета (#FF5733), адреса памяти (0x1A2B), MAC-адреса.

Таблица соответствия:

Примеры расчётов

Пример 1: Перевод 100₁₀ в двоичную систему

100 ÷ 2 = 50, остаток 0
50  ÷ 2 = 25, остаток 0
25  ÷ 2 = 12, остаток 1
12  ÷ 2 = 6,  остаток 0
6   ÷ 2 = 3,  остаток 0
3   ÷ 2 = 1,  остаток 1
1   ÷ 2 = 0,  остаток 1

Двоичная запись: 1100100₂.

Пример 2: Перевод 10110101₂ в десятичную систему

Разряды: 7  6  5  4  3  2  1  0
Число:   1  0  1  1  0  1  0  1

1×2⁷ + 0×2⁶ + 1×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰
= 128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1
= 181₁₀

Пример 3: Сложение 1110₂ + 1011₂

    1110  (14₁₀)
  + 1011  (11₁₀)
  ------
   11001  (25₁₀)

Пошагово:

• 0+1=1
• 1+1=10 (0, перенос 1)
• 1+0+1(перенос)=10 (0, перенос 1)
• 1+1+1(перенос)=11 (11)

Пример 4: Дробь 0.8125₁₀ в двоичную систему

0.8125 × 2 = 1.625  → 1
0.625  × 2 = 1.25   → 1
0.25   × 2 = 0.5    → 0
0.5    × 2 = 1.0    → 1

Результат: 0.1101₂.

Практические советы

1. Используйте группировку: записывайте двоичные числа блоками по 4 бита (тетрады) для удобства — это соответствует одной hex-цифре. Например, 11010110₂ = 1101 0110₂ = D6₁₆.

2. Проверяйте результат: после перевода делайте обратное преобразование для контроля.

3. Округление дробей: в программировании ограничивайте точность (например, 10 знаков после точки), чтобы избежать бесконечных вычислений.

4. Калькуляторы: используйте встроенные функции языков программирования (bin() в Python, Integer.toBinaryString() в Java) или онлайн-инструменты для быстрого перевода.

5. Изучайте битовые операции: они ускоряют вычисления и используются в оптимизации кода (например, умножение/деление на степени двойки через сдвиги << и >>).

Типичные ошибки при работе с двоичной системой

• Неправильное направление чтения остатков: при переводе из десятичной в двоичную остатки записываются снизу вверх, а не сверху вниз.
• Путаница в позициях разрядов: нумерация разрядов начинается с 0 справа, а не с 1.
• Игнорирование переносов при сложении: забывают добавить перенос в следующий разряд при 1+1.
• Неверный формат записи: двоичные числа для ясности обозначают индексом ₂ или префиксом 0b (например, 0b1010), чтобы не путать с десятичными.
• Округление дробей: ожидают точного представления десятичных дробей в двоичной системе, хотя многие имеют бесконечную двоичную запись.

Заключение

Двоичная запись числа — основополагающий инструмент в информатике, программировании и цифровой электронике. Понимание принципов перевода между системами счисления, выполнения арифметических операций и работы с битами необходимо для эффективного решения технических задач, отладки кода и проектирования аппаратного обеспечения. Онлайн-калькулятор упрощает рутинные переводы, экономит время и помогает проверить расчёты для любых чисел — целых, дробных, положительных и отрицательных.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.