Дробь в степени

Основное правило возведения дроби в степень

Главное правило гласит: при возведении дроби в степень нужно возвести в эту степень отдельно числитель и отдельно знаменатель.

Формула:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

где:

• a — числитель
• b — знаменатель
• n — показатель степени

Пример:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$$

Примеры с обыкновенными дробями

Дробь в квадрате (степень 2)

$$\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}$$

$$\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}$$

Дробь в кубе (степень 3)

$$\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$$

Дробь в произвольной степени

$$\left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256}$$

$$\left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{2^2}{7^2} = \frac{4}{49}$$

Отрицательные дроби в степени

При возведении отрицательной дроби в степень нужно помнить о знаке:

• Четная степень → результат положительный
• Нечетная степень → результат отрицательный

Примеры

$$\left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{(-2)^2}{3^2} = \frac{4}{9}$$ (четная степень → плюс)

$$\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{(-2)^3}{3^3} = \frac{-8}{27} = -\frac{8}{27}$$ (нечетная степень → минус)

$$\left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$$ (четная степень → плюс)

$$\left(-\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1}{32}$$ (нечетная степень → минус)

Отрицательная степень дроби

При возведении дроби в отрицательную степень нужно инвертировать дробь (поменять числитель и знаменатель местами) и возвести в положительную степень:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}$$

Примеры

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = 2^3 = 8$$

$$\left(\frac{5}{2}\right)^{-1} = \frac{2}{5}$$

Степень 0 и 1

Возведение десятичной дроби в степень

Для десятичных дробей применяется то же правило: нужно перемножить дробь саму на себя нужное количество раз.

Способ 1: прямое умножение

$(0,5)^2 = 0,5 × 0,5 = 0,25$

$(0,2)^3 = 0,2 × 0,2 × 0,2 = 0,008$

Способ 2: через обыкновенную дробь

Переведите десятичную дробь в обыкновенную и используйте правило:

$$(0,5)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0,25$$

$$(0,25)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} = 0,0625$$

Дробная степень

Дробная степень означает извлечение корня. Числитель дроби — это степень, знаменатель — корень:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{\left(\frac{a}{b}\right)^m}$$

Примеры

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$

$$\left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$$

$$\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{\left(\frac{1}{16}\right)^3} = \sqrt[4]{\frac{1}{4096}} = \frac{1}{8}$$

Пошаговая инструкция по расчету

1. Проверьте знак: определите, положительная или отрицательная дробь, четная или нечетная степень.
2. Возведите числитель: вычислите числитель в степени n.
3. Возведите знаменатель: вычислите знаменатель в степени n.
4. Сократите результат (если возможно): найдите общий делитель и упростите дробь.

Пример полного расчета:

Вычислите $(6/8)^2$:

• Числитель: $6^2 = 36$
• Знаменатель: $8^2 = 64$
• Получилось: $36/64$
• Сократим на 4: $9/16$
• Ответ: 9/16

Типичные ошибки

Практические примеры

Задача 1

Вычислите $(7/10)^2$

Решение: $(7/10)^2 = 49/100 = 0,49$

Задача 2

Вычислите $(-3/4)^2$

Решение: $(-3/4)^2 = 9/16$ (четная степень, поэтому результат положительный)

Задача 3

Вычислите $(2/5)^{-2}$

Решение: $(2/5)^{-2} = (5/2)^2 = 25/4 = 6,25$

Задача 4

Вычислите $(-1/3)^3$

Решение: $(-1/3)^3 = -1/27$ (нечетная степень, поэтому результат отрицательный)

Свойства степеней для дробей

При работе с дробями в степенях помните об основных свойствах:

Возведение дроби в степень — это навык, который легко освоить, если помнить главное правило и уделить внимание знакам при отрицательных степенях. С практикой вы сможете выполнять эти операции быстро и без ошибок.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.