Средняя линия треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. Каждый треугольник имеет ровно три средние линии. Важное свойство: средняя линия всегда параллельна третьей стороне треугольника, к которой она не присоединена.

Формула длины средней линии

Основная формула:

$$m = \frac{a}{2}$$

Где:

• m — длина средней линии;
• a — длина стороны треугольника, параллельной этой средней линии.

Другими словами, средняя линия в два раза короче той стороны, которой она параллельна.

Метод расчёта через координаты вершин

Если даны координаты трёх вершин треугольника A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), можно вычислить среднюю линию так:

1. Найдите координаты середины первой стороны: M = ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2)
2. Найдите координаты середины второй стороны: N = ((x₂ + x₃)/2; (y₂ + y₃)/2)
3. Рассчитайте расстояние между M и N:

$$MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2}$$

Связь с теоремой о средней линии

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Это значит, что если вы знаете длину любой стороны, вы сразу узнаёте длину параллельной ей средней линии. Например, в треугольнике со сторонами 8 см, 10 см и 12 см средние линии будут иметь длины 4 см, 5 см и 6 см соответственно.

Примеры расчётов

Пример 1: Треугольник со стороной 16 см
Средняя линия, параллельная этой стороне: m = 16 / 2 = 8 см

Пример 2: Треугольник с координатами вершин A(0, 0), B(6, 0), C(3, 4)

• Середина AB: M = (3, 0)
• Середина BC: N = (4.5, 2)
• MN = √((4.5 − 3)² + (2 − 0)²) = √(2.25 + 4) = √6.25 = 2.5

Пример 3: Равносторонний треугольник со стороной 10 см
Все три средние линии имеют одинаковую длину: m = 10 / 2 = 5 см

Ограничения и особые случаи

• Средняя линия существует только для невырожденного треугольника (три вершины не должны лежать на одной прямой).
• Длина средней линии всегда меньше половины периметра треугольника.
• В прямоугольном треугольнике средняя линия, соединяющая середины катетов, параллельна гипотенузе и равна её половине.

Советы и проверка результата

• Убедитесь, что вы правильно идентифицировали, какой стороне параллельна ваша средняя линия.
• Используйте несколько методов расчёта для проверки: прямую формулу и расчёт через координаты.
• Помните, что сумма всех трёх средних линий всегда меньше периметра исходного треугольника.
• На чертеже средняя линия должна визуально выглядеть как отрезок, ровно вдвое короче параллельной ей стороны.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.