Десятичные числа в двоичной системе

Что такое двоичная система счисления

Двоичная система счисления — позиционная система с основанием 2, использующая только две цифры: 0 и 1. Каждая позиция (разряд) числа представляет степень двойки, что делает эту систему естественной для цифровой электроники, где сигнал либо есть (1), либо отсутствует (0).

Десятичная система, привычная для повседневных расчётов, имеет основание 10. Перевод между этими системами — базовая операция в информатике, программировании, изучении архитектуры компьютеров и цифровой обработке сигналов.

Как пользоваться калькулятором

Онлайн-калькулятор выполняет мгновенный перевод десятичных чисел в двоичную систему с подробным алгоритмом решения:

1. Введите десятичное число (целое или дробное) в поле ввода
2. Для дробных чисел используйте точку или запятую как разделитель
3. Укажите точность для дробной части (количество бит после запятой)
4. Нажмите кнопку расчёта для получения результата
5. Изучите пошаговое решение с пояснениями каждого действия

Калькулятор поддерживает отрицательные числа, автоматически применяя дополнительный код для представления в двоичной форме.

Алгоритм перевода целых десятичных чисел

Метод последовательного деления

Для перевода целого положительного числа из десятичной системы в двоичную применяется алгоритм деления на 2:

1. Разделите десятичное число на 2
2. Запишите остаток от деления (0 или 1) — это младший разряд
3. Возьмите целую часть частного и повторите деление
4. Продолжайте до получения частного 0
5. Запишите остатки в обратном порядке (снизу вверх)

Пример: перевод числа 45₁₀ в двоичную систему

45 ÷ 2 = 22, остаток 1
22 ÷ 2 = 11, остаток 0
11 ÷ 2 = 5,  остаток 1
5 ÷ 2 = 2,   остаток 1
2 ÷ 2 = 1,   остаток 0
1 ÷ 2 = 0,   остаток 1

Читая остатки снизу вверх: 45₁₀ = 101101₂

Проверка результата

Для проверки переведите двоичное число обратно:

1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ =
32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45₁₀

Алгоритм перевода дробных десятичных чисел

Метод последовательного умножения

Для дробной части десятичного числа (цифры после запятой) используется алгоритм умножения на 2:

1. Умножьте дробную часть на 2
2. Запишите целую часть результата (0 или 1) — это первый разряд после запятой
3. Возьмите дробную часть произведения и повторите умножение
4. Продолжайте до получения 0 или достижения нужной точности
5. Запишите целые части в порядке получения (сверху вниз)

Пример: перевод числа 0,375₁₀ в двоичную систему

0,375 × 2 = 0,75  → целая часть 0
0,75 × 2 = 1,5    → целая часть 1
0,5 × 2 = 1,0     → целая часть 1

Результат: 0,375₁₀ = 0,011₂

Перевод смешанных чисел

Для чисел, содержащих целую и дробную части, переводите их отдельно:

Пример: 13,625₁₀

Целая часть: 13₁₀ = 1101₂ (методом деления)
Дробная часть: 0,625₁₀ = 0,101₂ (методом умножения)
Ответ: 13,625₁₀ = 1101,101₂

Перевод отрицательных десятичных чисел

Для представления отрицательных чисел в двоичной системе используются три основных метода:

Прямой код

Старший бит — знаковый (0 — плюс, 1 — минус), остальные биты — модуль числа.

Пример: -13₁₀ в 8-битном формате
13₁₀ = 00001101₂
-13₁₀ = 10001101₂ (прямой код)

Обратный код

Для отрицательного числа инвертируются все биты положительного.

-13₁₀ = 11110010₂ (обратный код)

Дополнительный код

Наиболее распространённый метод в компьютерах. Получается добавлением 1 к обратному коду.

-13₁₀ = 11110011₂ (дополнительный код)

Дополнительный код упрощает арифметические операции и позволяет использовать одну схему для сложения и вычитания.

Позиционная запись и разрядность

В двоичной системе каждая позиция соответствует степени двойки:

Для числа 10110011₂:

1 × 128 + 0 × 64 + 1 × 32 + 1 × 16 + 0 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1 = 179₁₀

Разрядность определяет диапазон представимых чисел. В 8-битной системе: от 0 до 255 (беззнаковые) или от -128 до 127 (знаковые).

Бесконечные двоичные дроби

Многие конечные десятичные дроби не имеют точного двоичного представления:

0,1₁₀ = 0,0001100110011…₂ (период 0011)
0,2₁₀ = 0,001100110011…₂ (период 0011)
0,3₁₀ = 0,010011001100…₂ (период 1001)

Это объясняет ошибки округления в компьютерных вычислениях с плавающей точкой. Для практических задач дробь ограничивают определённым количеством бит (обычно 23 для float, 52 для double в стандарте IEEE 754).

Практические примеры перевода

Пример 1: целое число 255₁₀

255 ÷ 2 = 127, остаток 1
127 ÷ 2 = 63,  остаток 1
63 ÷ 2 = 31,   остаток 1
31 ÷ 2 = 15,   остаток 1
15 ÷ 2 = 7,    остаток 1
7 ÷ 2 = 3,     остаток 1
3 ÷ 2 = 1,     остаток 1
1 ÷ 2 = 0,     остаток 1

255₁₀ = 11111111₂ (максимальное 8-битное беззнаковое число)

Пример 2: дробное число 0,75₁₀

0,75 × 2 = 1,5  → 1
0,5 × 2 = 1,0   → 1

0,75₁₀ = 0,11₂

Пример 3: смешанное число 100,25₁₀

Целая часть: 100 = 1100100₂
Дробная часть: 0,25 = 0,01₂
100,25₁₀ = 1100100,01₂

Пример 4: степень двойки 1024₁₀

1024 = 2¹⁰
1024₁₀ = 10000000000₂ (единица и десять нулей)

Таблица соответствия десятичных и двоичных чисел

Применение в программировании и технике

Битовые операции

Двоичное представление необходимо для работы с битовыми операциями:

• AND (&): 1010 & 1100 = 1000
• OR (|): 1010 | 1100 = 1110
• XOR (^): 1010 ^ 1100 = 0110
• NOT (~): ~1010 = 0101

Маски и флаги

В программировании двоичные числа используются для хранения множества логических значений:

Права доступа: rwx = 111₂ = 7₁₀
Чтение + выполнение: r-x = 101₂ = 5₁₀
Только чтение: r-- = 100₂ = 4₁₀

IP-адреса

IPv4-адрес — 32-битное двоичное число, записываемое в десятичном виде:

192.168.1.1 = 11000000.10101000.00000001.00000001₂

Представление данных

Текст, изображения, звук в компьютере кодируются двоичными числами. Символ ‘A’ в ASCII = 65₁₀ = 01000001₂.

Форматы представления в компьютерах

Целые числа

8 бит (byte): от 0 до 255 (беззнаковые), от -128 до 127 (знаковые)
16 бит (short): от 0 до 65535 (беззнаковые), от -32768 до 32767 (знаковые)
32 бита (int): от 0 до 4 294 967 295, от -2 147 483 648 до 2 147 483 647
64 бита (long): до 18 квинтиллионов

Числа с плавающей точкой

Стандарт IEEE 754:

Float (32 бита): 1 бит знак + 8 бит экспонента + 23 бита мантисса
Double (64 бита): 1 бит знак + 11 бит экспонента + 52 бита мантисса

Число представляется как: ±мантисса × 2^экспонента

Типичные ошибки при переводе

Ошибка 1: неправильный порядок остатков

При делении остатки записываются снизу вверх (от последнего к первому). Прямой порядок даст неверный результат.

Ошибка 2: потеря точности дробной части

Умножение продолжается до получения 0 или достижения нужной разрядности. Преждевременная остановка искажает результат.

Ошибка 3: смешение систем счисления

При вычислениях все числа должны быть в одной системе. Операции типа 10₂ + 10₁₀ = 20 ошибочны.

Ошибка 4: неправильная проверка

Проверяя результат обратным переводом, не забывайте правильно вычислять степени двойки.

Советы для быстрого перевода

1. Запомните степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024…
2. Раскладывайте на слагаемые: 45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 101101₂
3. Используйте таблицу для малых чисел: 0–15 легко запомнить
4. Для дробей проверяйте знаменатель: дроби со знаменателем 2ⁿ (0,5; 0,25; 0,125) дают конечное двоичное представление
5. Группируйте биты: 8 бит = 1 байт = 2 шестнадцатеричные цифры

Обратный перевод: из двоичной в десятичную

Для проверки и понимания обратного процесса:

Метод позиционных весов:

Для числа 1101,101₂:

1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 1 × 2⁻¹ + 0 × 2⁻² + 1 × 2⁻³ =
8 + 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 13,625₁₀

Этот метод подтверждает правильность прямого перевода.

Перевод через другие системы счисления

Через восьмеричную систему

Группируйте двоичные цифры по 3 (справа налево), переводите каждую группу:

101101₂ = 101|101 = 5|5 = 55₈ = 5 × 8 + 5 = 45₁₀

Через шестнадцатеричную систему

Группируйте по 4 двоичные цифры, переводите в hex:

101101₂ = 0010|1101 = 2|D = 2D₁₆ = 2 × 16 + 13 = 45₁₀

Эти методы ускоряют перевод длинных двоичных чисел.

Заключение

Перевод десятичных чисел в двоичную систему — фундаментальный навык для работы с компьютерными технологиями. Освоив алгоритмы для целых и дробных чисел, вы сможете понимать внутреннее представление данных, отлаживать код на низком уровне, эффективно работать с битовыми операциями и сетевыми протоколами. Онлайн-калькулятор упрощает рутинные вычисления и помогает проверять ручные расчёты, предоставляя пошаговое решение для обучения.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.