Делители числа

Что такое делители числа

Делитель числа — это натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Если a делится на b нацело, то b называется делителем числа a, а a — кратным числа b.

Формально: число d — делитель числа n, если существует целое число k такое, что n = d × k.

Примеры:

• Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• Делители числа 17: 1, 17 (простое число)
• Делители числа 1: только 1

Каждое натуральное число имеет как минимум два делителя: 1 и само число. Единственное исключение — число 1, у которого всего один делитель.

Как пользоваться калькулятором делителей

1. Введите число (натуральное, больше нуля) в поле калькулятора
2. Калькулятор автоматически находит все делители
3. Результат показывает:
   • Полный список всех делителей в порядке возрастания
   • Общее количество делителей
   • Разложение на простые множители
   • Простые делители (если есть)
   • Сумму всех делителей

Пример использования:

• Введите число 60
• Получите делители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
• Количество делителей: 12
• Разложение: 60 = 2² × 3 × 5

Алгоритм нахождения всех делителей

Метод перебора до квадратного корня

Эффективный способ для чисел средней величины:

1. Вычислите √n (квадратный корень из числа)
2. Переберите все числа от 1 до √n
3. Для каждого числа i:
   • Если n делится на i без остатка, то i — делитель
   • Также n/i — делитель (парный)
4. Объедините все найденные делители, исключив дубликаты

Пример для числа 36:

• √36 = 6
• Проверяем числа от 1 до 6:
  • 1: 36÷1=36 → делители 1, 36
  • 2: 36÷2=18 → делители 2, 18
  • 3: 36÷3=12 → делители 3, 12
  • 4: 36÷4=9 → делители 4, 9
  • 6: 36÷6=6 → делитель 6
• Результат: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Этот метод работает за O(√n) операций вместо O(n) при полном переборе.

Метод через разложение на простые множители

Более математический подход:

1. Разложите число n на простые множители: n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ
2. Любой делитель имеет вид: d = p₁^b₁ × p₂^b₂ × … × pₖ^bₖ, где 0 ≤ bᵢ ≤ aᵢ
3. Переберите все комбинации показателей степеней

Пример для числа 24 = 2³ × 3¹:

• Для множителя 2³: можем взять 2⁰, 2¹, 2², 2³ (это 1, 2, 4, 8)
• Для множителя 3¹: можем взять 3⁰, 3¹ (это 1, 3)
• Все комбинации: 1×1=1, 1×3=3, 2×1=2, 2×3=6, 4×1=4, 4×3=12, 8×1=8, 8×3=24
• Делители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Формула количества делителей

Если известно разложение числа на простые множители:

n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ

То количество делителей (функция τ):

τ(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(aₖ + 1)

Примеры:

• 12 = 2² × 3¹ → τ(12) = (2+1)(1+1) = 3 × 2 = 6 делителей
• 100 = 2² × 5² → τ(100) = (2+1)(2+1) = 3 × 3 = 9 делителей
• 30 = 2¹ × 3¹ × 5¹ → τ(30) = (1+1)(1+1)(1+1) = 2 × 2 × 2 = 8 делителей

Простые и составные делители

Простые делители — делители, которые являются простыми числами (делятся только на 1 и на себя).

Пример для числа 60:

• Разложение: 60 = 2² × 3 × 5
• Простые делители: 2, 3, 5
• Все делители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
• Составные делители: 4, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Нахождение простых делителей — это по сути факторизация числа (разложение на простые множители).

Свойства делителей

Основные свойства

1. Делимость транзитивна: если a делится на b, а b делится на c, то a делится на c
2. Единица — делитель любого числа: 1 | n для всех натуральных n
3. Число само себе делитель: n | n для всех натуральных n
4. Количество делителей конечно: у любого натурального числа конечное число делителей

Делители чётных и нечётных чисел

• У чётного числа обязательно есть делитель 2
• У нечётного числа все делители нечётны (кроме 1)
• У чётного числа количество делителей может быть как чётным, так и нечётным
• Примеры:
  • 6 (чётное): делители 1, 2, 3, 6 — четыре делителя
  • 9 (нечётное): делители 1, 3, 9 — три делителя

Суммы делителей

Функция σ(n) — сумма всех делителей числа n.

Формула при известном разложении n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ:

σ(n) = [(p₁^(a₁+1) - 1)/(p₁ - 1)] × [(p₂^(a₂+1) - 1)/(p₂ - 1)] × … × [(pₖ^(aₖ+1) - 1)/(pₖ - 1)]

Пример для 12 = 2² × 3:

• σ(12) = [(2³-1)/(2-1)] × [(3²-1)/(3-1)] = [7/1] × [8/2] = 7 × 4 = 28
• Проверка: 1+2+3+4+6+12 = 28 ✓

Примеры нахождения делителей

Пример 1: Делители числа 48

Способ 1 (перебор до √48 ≈ 6.93):

Проверяем числа от 1 до 6:

• 1: 48÷1=48 → делители 1, 48
• 2: 48÷2=24 → делители 2, 24
• 3: 48÷3=16 → делители 3, 16
• 4: 48÷4=12 → делители 4, 12
• 6: 48÷6=8 → делители 6, 8

Результат: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 (10 делителей)

Способ 2 (через разложение):

• 48 = 2⁴ × 3¹
• Количество делителей: (4+1)(1+1) = 5 × 2 = 10 ✓
• Простые делители: 2, 3

Пример 2: Делители числа 100

Разложение: 100 = 2² × 5²

Генерация всех делителей:

• Для 2²: берём 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4
• Для 5²: берём 5⁰=1, 5¹=5, 5²=25

Комбинации:

• 1×1=1, 1×5=5, 1×25=25
• 2×1=2, 2×5=10, 2×25=50
• 4×1=4, 4×5=20, 4×25=100

Результат: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 (9 делителей)

Сумма делителей: σ(100) = 1+2+4+5+10+20+25+50+100 = 217

Пример 3: Делители простого числа 31

Простое число имеет только два делителя:

Результат: 1, 31

Количество делителей простого числа всегда равно 2.

Специальные виды чисел по количеству делителей

Совершенные числа

Число называется совершенным, если сумма его собственных делителей (всех делителей, кроме самого числа) равна самому числу.

Примеры:

• 6: делители 1, 2, 3, 6 → 1+2+3 = 6 ✓
• 28: делители 1, 2, 4, 7, 14, 28 → 1+2+4+7+14 = 28 ✓
• 496: сумма собственных делителей равна 496

Избыточные и недостаточные числа

• Избыточное число: сумма собственных делителей больше самого числа
  • Пример: 12 → 1+2+3+4+6 = 16 > 12
• Недостаточное число: сумма собственных делителей меньше самого числа
  • Пример: 10 → 1+2+5 = 8 < 10

Числа с максимальным количеством делителей

Для данного n какое число до n имеет больше всего делителей? Это высоко составные числа.

Примеры:

• 1: 1 делитель
• 2: 2 делителя
• 4: 3 делителя
• 6: 4 делителя
• 12: 6 делителей
• 24: 8 делителей
• 36: 9 делителей
• 48: 10 делителей

Применение делителей в задачах

Нахождение НОД и НОК

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — наибольшее число, являющееся делителем обоих чисел.

Пример: НОД(48, 60)

• Делители 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
• Делители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
• Общие делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• НОД(48, 60) = 12

Наименьшее общее кратное (НОК) связано с НОД формулой:

НОК(a, b) = (a × b) / НОД(a, b)

Для 48 и 60: НОК = (48 × 60) / 12 = 2880 / 12 = 240

Сокращение дробей

Для сокращения дроби a/b находим НОД(a, b) и делим числитель и знаменатель на него.

Пример: сократить 48/60

• НОД(48, 60) = 12
• 48/60 = (48÷12)/(60÷12) = 4/5

Разбиение на группы

Задача: разделить 48 яблок и 60 груш поровну на максимальное количество одинаковых наборов.

Решение: НОД(48, 60) = 12 — можно сделать 12 наборов, в каждом по 4 яблока и 5 груш.

Решётки и кратность

Задача: на поле размером 48×60 метров нужно расставить столбы с одинаковым интервалом по периметру. Какой максимальный интервал?

Решение: НОД(48, 60) = 12 метров — интервал между столбами.

Делители в теории чисел

Функция количества делителей τ(n)

Мультипликативность: если НОД(a, b) = 1, то τ(a × b) = τ(a) × τ(b)

Пример:

• τ(6) = τ(2×3) = τ(2) × τ(3) = 2 × 2 = 4
• Проверка: делители 6 — это 1, 2, 3, 6 (4 штуки) ✓

Функция суммы делителей σ(n)

Также мультипликативна при НОД(a, b) = 1:

σ(a × b) = σ(a) × σ(b)

Пример:

• σ(6) = σ(2) × σ(3) = (1+2) × (1+3) = 3 × 4 = 12
• Проверка: 1+2+3+6 = 12 ✓

Делители степеней простых чисел

Для числа вида p^k (простое число в степени):

• Делители: 1, p, p², p³, …, p^k
• Количество делителей: k + 1
• Сумма делителей: (p^(k+1) - 1)/(p - 1)

Пример для 2⁵ = 32:

• Делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32
• Количество: 5 + 1 = 6
• Сумма: (2⁶ - 1)/(2 - 1) = 63/1 = 63
• Проверка: 1+2+4+8+16+32 = 63 ✓

Таблица делителей распространённых чисел

Советы и хитрости

Быстрая проверка делимости

• Делимость на 2: последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8)
• Делимость на 3: сумма цифр делится на 3
• Делимость на 4: две последние цифры образуют число, делящееся на 4
• Делимость на 5: последняя цифра 0 или 5
• Делимость на 6: число делится на 2 и на 3 одновременно
• Делимость на 9: сумма цифр делится на 9
• Делимость на 10: последняя цифра 0

Пример: проверим 126

• На 2: да (6 чётное)
• На 3: 1+2+6=9, 9 делится на 3 → да
• На 6: делится на 2 и 3 → да
• На 9: сумма цифр 9 → да

Поиск делителей больших чисел

Для чисел больше 10⁶ метод перебора до √n может быть медленным. Рекомендации:

1. Сначала разложите число на простые множители (факторизация)
2. Используйте готовые таблицы простых чисел
3. Применяйте алгоритмы факторизации (метод Ферма, ро-алгоритм Полларда)
4. Для очень больших чисел используйте специализированное ПО

Оценка количества делителей

Для числа n:

• Минимальное количество делителей: 2 (если n простое)
• Максимальное количество делителей до n: приблизительно 2√(2ln(n))
• Среднее количество делителей около ln(n)

Пример: для n = 1000

• Минимум: 2 (если простое)
• Среднее: ln(1000) ≈ 6.9
• Число 840 < 1000 имеет 32 делителя (высоко составное число)

Распространённые ошибки

Ошибка 1: Забыть 1 и само число

Неправильно: делители 10 — это 2 и 5
Правильно: делители 10 — это 1, 2, 5, 10

Единица и само число всегда делители (кроме особого случая с 1).

Ошибка 2: Дублирование делителей

При переборе до √n для точного квадрата можно задвоить квадратный корень.

Пример для 36:

• √36 = 6
• При проверке 6: 36÷6=6
• Нельзя записывать 6 дважды!

Ошибка 3: Неправильное применение формулы количества

Неправильно: 12 = 2×2×3, количество делителей (2)(2)(1) = 4
Правильно: 12 = 2²×3¹, количество делителей (2+1)(1+1) = 6

Нужно группировать одинаковые простые множители в степени.

Ошибка 4: Путаница делителей и кратных

• Делитель: число, на которое делится данное (делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12)
• Кратное: число, которое делится на данное (кратные 12: 12, 24, 36, 48…)

Заключение

Нахождение всех делителей числа — базовая задача теории чисел с множеством практических применений: от сокращения дробей до криптографии. Калькулятор делителей позволяет мгновенно получить полный список делителей, их количество, сумму и разложение на простые множители для любого натурального числа. Знание методов поиска делителей, формул для подсчёта их количества и свойств делимости помогает эффективно решать математические и прикладные задачи.

Примечание: калькулятор работает с натуральными числами (целыми положительными). Для отрицательных чисел делители определяются аналогично, но с учётом знака.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.