Внешний угол треугольника по координатам

Алгоритм нахождения внешнего угла

Внешний угол треугольника при некоторой вершине равен 180° минус внутренний угол при той же вершине. Чтобы найти его по координатам, достаточно четырёх шагов:

1. Выберите нужную вершину — ту, при которой требуется внешний угол. Назовём её V.
2. Постройте два вектора из V к двум другим вершинам. Если треугольник ABC и угол ищется при вершине C, вычислите: CA = A − C и CB = B − C.
3. Найдите внутренний угол φ через скалярное произведение этих двух векторов.
4. Внешний угол β = 180° − φ.

Главное правило: оба вектора должны выходить из одной и той же вершины V, а не из разных. Нарушение этого условия — самая частая ошибка.

Формула через скалярное произведение

Для двух векторов a = (a₁, a₂) и b = (b₁, b₂) в плоскости угол между ними:

$$\cos\varphi = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$$

В пространстве (три координаты) добавляется третье слагаемое:

$$\cos\varphi = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\cdot\sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$$

Затем:

$$\varphi = \arccos(\ldots) \quad \Rightarrow \quad \beta_{\text{внеш}} = 180° - \varphi$$

Функция arccos возвращает значения строго в промежутке [0°; 180°], поэтому она корректно обрабатывает как острые, так и тупые внутренние углы — никаких дополнительных условий не нужно.

Пример в плоскости (2D)

Условие. Дан треугольник с вершинами A(0, 0), B(4, 0), C(1, 3). Найти внешний угол при вершине B.

Шаг 1. Строим векторы из точки B к двум другим вершинам:

$$\vec{BA} = A - B = (0 - 4,\ 0 - 0) = (-4,\ 0)$$

$$\vec{BC} = C - B = (1 - 4,\ 3 - 0) = (-3,\ 3)$$

Шаг 2. Вычисляем скалярное произведение:

$$\vec{BA}\cdot\vec{BC} = (-4)\cdot(-3) + 0\cdot 3 = 12$$

Шаг 3. Находим длины векторов:

$$|\vec{BA}| = \sqrt{16 + 0} = 4, \qquad |\vec{BC}| = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$$

Шаг 4. Косинус и внутренний угол при B:

$$\cos\varphi_B = \frac{12}{4 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{12}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\varphi_B = \arccos!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45°$$

Шаг 5. Внешний угол:

$$\beta_B = 180° - 45° = \mathbf{135°}$$

Пример в пространстве (3D)

Условие. Дан треугольник с вершинами A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1). Найти внешний угол при вершине C.

Шаг 1. Строим векторы из точки C:

$$\vec{CA} = A - C = (1-0,\ 0-0,\ 0-1) = (1,\ 0,\ -1)$$

$$\vec{CB} = B - C = (0-0,\ 1-0,\ 0-1) = (0,\ 1,\ -1)$$

Шаг 2. Скалярное произведение:

$$\vec{CA}\cdot\vec{CB} = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + (-1)\cdot(-1) = 0 + 0 + 1 = 1$$

Шаг 3. Длины векторов:

$$|\vec{CA}| = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}, \qquad |\vec{CB}| = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$$

Шаг 4. Косинус и внутренний угол при C:

$$\cos\varphi_C = \frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

$$\varphi_C = \arccos!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 60°$$

Шаг 5. Внешний угол:

$$\beta_C = 180° - 60° = \mathbf{120°}$$

Дополнительное свойство для проверки

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Если обозначить внутренние углы при вершинах A, B, C как α, β, γ соответственно, то внешний угол при вершине C:

$$\beta_{\text{внеш при C}} = \alpha + \beta$$

Это прямое следствие из α + β + γ = 180° и β_внеш = 180° − γ.

Используйте это свойство как проверку: найдите все три внутренних угла через скалярные произведения, затем убедитесь, что внешний угол при нужной вершине совпадает с суммой двух других.

Типичные ошибки