Дана трапеция, найти углы

Если дана трапеция, найти углы можно через свойство параллельных оснований. Углы при каждой боковой стороне всегда в сумме дают 180°. Для равнобедренной и прямоугольной трапеций существуют дополнительные формулы, а при известных длинах сторон задача сводится к тригонометрии прямоугольных треугольников.

Свойства углов трапеции

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AB \parallel CD$ выполняются равенства:

$\angle A + \angle D = 180^\circ, \quad \angle B + \angle C = 180^\circ$

Это внутренние односторонние углы при параллельных прямых. Сумма всех четырёх углов трапеции, как и любого четырёхугольника, равна $360^\circ$.

• В равнобедренной трапеции углы при каждом основании попарно равны: $\angle A = \angle B$, $\angle C = \angle D$.
• В прямоугольной трапеции два угла по $90^\circ$, остальные – острый и тупой, дающие в сумме $180^\circ$.

Как найти углы трапеции, если даны стороны?

Обозначим основания $a$ и $b$ ($a > b$), боковые стороны $c$ и $d$. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Основание разделится на три части: отрезок $x$, само меньшее основание $b$ и отрезок $y$. При этом $x + y = a - b$.

Из двух полученных прямоугольных треугольников с общей высотой $h$:

$x = \frac{(a-b)^2 + d^2 - c^2}{2(a-b)}$

После этого острый угол при основании $a$ со стороной $d$ находится по формуле:

$\angle A = \arccos\frac{x}{d}, \qquad \angle D = 180^\circ - \angle A$

Аналогично для второй боковой стороны $c$:

$y = a - b - x, \qquad \angle B = \arccos\frac{y}{c}, \qquad \angle C = 180^\circ - \angle B$

Пример. Основания $10$ и $6$, боковые стороны $5$ и $4$. Разность оснований – $4$.

$x = \frac{4^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 4} = 2$

$\angle A = \arccos\frac{2}{5} \approx 66{,}4^\circ, \quad \angle D \approx 113{,}6^\circ$

$y = 4 - 2 = 2, \quad \angle B = \arccos\frac{2}{4} = 60^\circ, \quad \angle C = 120^\circ$

Проверка: $66{,}4 + 113{,}6 + 60 + 120 = 360^\circ$. Углы найдены.

Углы равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции $c = d$, а отрезки $x$ и $y$ равны между собой:

$x = y = \frac{a-b}{2}$

Формула для острого угла при большем основании:

$\angle A = \arccos\frac{a-b}{2c}$

Тупой угол:

$\angle D = 180^\circ - \angle A$

Пример. Основания $8$ и $4$, боковая сторона $5$.

$x = \frac{8-4}{2} = 2, \quad \cos\angle A = \frac{2}{5} = 0{,}4$

$\angle A \approx 66{,}4^\circ, \quad \angle D \approx 113{,}6^\circ$

Углы прямоугольной трапеции

В прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям и является высотой. Пусть $\angle A = \angle D = 90^\circ$, высота $h = c$, наклонная боковая сторона равна $d$. Тогда на основании $a$ отрезок под наклонной составит $a - b$, и:

$\cos\angle B = \frac{a-b}{d}, \quad \angle C = 180^\circ - \angle B$

либо через синус:

$\sin\angle B = \frac{h}{d}$

Пример. Основания $9$ и $5$, высота $4$, наклонная сторона $5$.

$\cos\angle B = \frac{9-5}{5} = 0{,}8 \Rightarrow \angle B \approx 36{,}9^\circ, \quad \angle C \approx 143{,}1^\circ$

Как найти угол через диагонали?

Если известны диагональ и две прилежащие стороны, применяют теорему косинусов. Например, в треугольнике $ABD$ с диагональю $BD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos\angle A$

Отсюда:

$\angle A = \arccos\frac{AB^2 + AD^2 - BD^2}{2 \cdot AB \cdot AD}$

Одних только диагоналей для однозначного определения углов недостаточно – нужна ещё хотя бы одна сторона или угол между диагоналями.

Углы вписанной и описанной трапеции

Если трапеция вписана в окружность, она обязательно равнобедренная. Поэтому углы при каждом основании равны, а расчёт ведётся по формулам для равнобедренной трапеции.

Если окружность вписана в трапецию (все стороны касаются окружности), выполняется условие $a + b = c + d$. Это позволяет быстрее проверить корректность данных, но сами углы всё равно ищут через высоту или теорему косинусов.

Чему равна сумма углов трапеции?

Сумма внутренних углов любой трапеции равна $360^\circ$. Диагональ делит трапецию на два треугольника, в каждом из которых сумма углов $180^\circ$. Вместе они дают $360^\circ$.

Параллельность оснований добавляет ещё одно важное свойство: углы при каждой боковой стороне всегда дополняют друг друга до $180^\circ$. Поэтому зная один угол, вы сразу получаете смежный с ним по боковой стороне.