Обновлено:
Дана биссектриса: как найти сторону треугольника
Задача «дана биссектриса – найти сторону» встречается в школьных контрольных, на ОГЭ и ЕГЭ. Суть одна: по известной длине биссектрисы и двум прилежащим сторонам треугольника вычислить третью сторону. Решение опирается на одну формулу, которую можно переформулировать для нахождения любого из трёх элементов.
Что такое биссектриса треугольника
Биссектриса – отрезок из вершины треугольника к противоположной стороне, делящий угол при этой вершине на два равных угла.
Свойства биссектрисы, которые нужны при решении задач:
- Делит сторону в отношении прилежащих. Если из вершины C проведена биссектриса к стороне c = AB, она разбивает AB на отрезки, пропорциональные длинам прилежащих сторон: AD/DB = b/a.
- Короче полусуммы прилежащих сторон: $l_c < (a + b)/2$.
- Три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности (инцентре).
Формула длины биссектрисы
Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ (противолежащей углу $\gamma$):
$$l_c^2 = ab\left(1 - \frac{c^2}{(a+b)^2}\right)$$Развёрнутая запись:
$$l_c = \frac{\sqrt{ab\left[(a+b)^2 - c^2\right]}}{a+b}$$Если в условии дан угол $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$, удобнее тригонометрическая форма:
$$l_c = \frac{2ab}{a+b}\cos\frac{\gamma}{2}$$Обе формулы эквивалентны – выбор зависит от набора известных данных.
Как найти сторону треугольника по биссектрисе
Из формулы $l_c^2 = ab\left(1 - \frac{c^2}{(a+b)^2}\right)$ выражаем неизвестную сторону $c$:
$$c = (a+b)\sqrt{1 - \frac{l_c^2}{ab}}$$Или в другой записи:
$$c = (a+b)\sqrt{\frac{ab - l_c^2}{ab}}$$Условие существования решения
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$l_c^2 \leq ab$$Если $l_c^2 > ab$, задача не имеет решения – такой длины биссектрисы при данных сторонах существовать не может. После вычисления $c$ необходимо проверить неравенство треугольника:
$$|a - b| < c < a + b$$Пошаговый пример решения
Условие. В треугольнике ABC стороны $a = 8$ см, $b = 6$ см. Длина биссектрисы, проведённой к стороне $c$, равна $4{,}8$ см. Найти сторону $c$.
Шаг 1. Проверяем существование.
$$l_c^2 = 4{,}8^2 = 23{,}04, \quad ab = 8 \cdot 6 = 48$$$23{,}04 < 48$ – условие выполнено, задача корректна.
Шаг 2. Вычисляем отношение.
$$1 - \frac{l_c^2}{ab} = 1 - \frac{23{,}04}{48} = 1 - 0{,}48 = 0{,}52$$Шаг 3. Находим сторону.
$$c = (8 + 6)\sqrt{0{,}52} = 14 \cdot 0{,}721 \approx 10{,}1 \text{ см}$$Шаг 4. Проверяем неравенство треугольника.
$$|8 - 6| = 2 < 10{,}1 < 14 = 8 + 6 \quad \checkmark$$Ответ: $c \approx 10{,}1$ см.
Обратные задачи с биссектрисой
Найти биссектрису по трём сторонам
Подставьте известные $a$, $b$, $c$ в основную формулу:
$$l_c = \frac{\sqrt{ab\left[(a+b)^2 - c^2\right]}}{a+b}$$Пример: $a = 9$, $b = 6$, $c = 7$.
$$l_c = \frac{\sqrt{54 \cdot (225 - 49)}}{15} = \frac{\sqrt{54 \cdot 176}}{15} = \frac{\sqrt{9\,504}}{15} = \frac{97{,}49}{15} \approx 6{,}5$$Найти биссектрису по двум сторонам и углу
$$l_c = \frac{2 \cdot 9 \cdot 6}{15} \cdot \cos\frac{\gamma}{2}$$Значение $\cos(\gamma/2)$ определяется по известному углу $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$.
Найти отрезки, на которые биссектриса делит сторону
Биссектриса разбивает сторону $c$ на:
$$AD = \frac{b \cdot c}{a + b}, \qquad DB = \frac{a \cdot c}{a + b}$$Зная один из отрезков и прилежащие стороны, можно восстановить всю сторону $c$.
Типичные ошибки
- Подстановка неправильных сторон. В формуле $l_c^2 = ab(1 - c^2/(a+b)^2)$ стороны $a$ и $b$ – прилежащие к углу, из которого проведена биссектриса; сторона $c$ – противоположная. Перепутав стороны, получите некорректный результат.
- Отбрасывание проверки. Формула формально даёт ответ даже при $l_c^2 > ab$, но результат будет мнимым. Всегда проверяйте $l_c^2 < ab$.
- Смешение с медианой. Формула медианы $m_c^2 = (2a^2 + 2b^2 - c^2)/4$ внешне похожа, но принципиально отличается. Не путайте их.
Часто задаваемые вопросы
Можно ли найти сторону треугольника, зная только длину одной биссектрисы?
Нет. Длины одной биссектрисы недостаточно – бесконечно много треугольников имеют биссектрису одной и той же длины. Нужны как минимум две прилежащие стороны или другие дополнительные данные (сторона и угол).
Чем биссектриса отличается от медианы и высоты?
Биссектриса делит угол пополам, медиана проходит через середину противоположной стороны, а высота проведена перпендикулярно стороне. В общем треугольнике эти три линии не совпадают. В равнобедренном треугольнике из вершины при основании все три совпадают.
Чему равна биссектриса в равностороннем треугольнике?
В равностороннем треугольнике со стороной a длина каждой из трёх биссектрис равна a√3/2. Это совпадает с длиной медианы и высоты, поскольку все три линии из каждой вершины совпадают.
Всегда ли биссектриса лежит внутри треугольника?
Да, внутренняя биссектриса всегда проходит внутри треугольника и пересекает противоположную сторону. Существует также внешняя биссектриса, которая делит смежный угол пополам и лежит вне треугольника.
Может ли длина биссектрисы равняться стороне треугольника?
Длина биссектрисы, проведённой к стороне c, всегда строго меньше полусуммы прилежащих сторон (a + b) / 2 и не может превышать наименьшую из них. Совпадение с одной из сторон треугольника возможно только в частных случаях.
Как найти точку пересечения биссектрисы с противоположной стороной?
Биссектриса делит противоположную сторону c на отрезки AD = bc/(a+b) и DB = ac/(a+b). Если заданы координаты вершин, координаты точки деления находятся по формуле с использованием отношения b : a.