Как найти биссектрису треугольника

11 мая 2026 г.

Задача «дан треугольник – найти биссектрису» решается по чёткой формуле через длины сторон. Никаких измерений углов не требуется – достаточно знать все три стороны треугольника и сторону, к которой вы хотите провести биссектрису.

Как вычислить биссектрису по трём сторонам

Пусть треугольник обозначен как ABC. Стороны известны:

a = BC – сторона, на которую падает биссектриса;
b = AC и c = AB – две другие стороны.

Длина биссектрисы lₐ, проведённой из вершины A к стороне a, вычисляется по формуле:

\[ l_a = \sqrt{ b \cdot c \cdot \left(1 - \frac{a^2}{(b + c)^2}\right) } \]

Если вам нужна биссектриса к другой стороне, просто поменяйте обозначения: для биссектрисы к стороне b используйте стороны a и c как прилежащие, а саму b – как противолежащую.

Пример расчёта

Дан треугольник со сторонами 5, 6 и 7. Найдём длину биссектрисы к стороне 7 (то есть a = 7, b = 5, c = 6).

Подставляем значения:

\[ l = \sqrt{ 5 \cdot 6 \cdot \left(1 - \frac{7^2}{(5 + 6)^2}\right) } = \sqrt{ 30 \cdot \left(1 - \frac{49}{121}\right) } = \sqrt{ 30 \cdot \frac{72}{121} } = \sqrt{ \frac{2\,160}{121} } \approx 4{,}23 \]

Ответ: длина биссектрисы ≈ 4,23.

Калькулятор выше работает по этой же формуле – достаточно ввести длины сторон и выбрать, к какой из них вы ищете биссектрису.

Какие ещё формулы могут пригодиться

Иногда удобнее использовать другие выражения той же длины – например, когда известен угол между сторонами или отрезки основания.

Через две стороны и угол

Если известны стороны b и c и угол α между ними, биссектрису к противолежащей стороне можно найти сразу:

\[ l_a = \frac{2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha/2)}{b + c} \]

Эта формула получается из предыдущей заменой a по теореме косинусов и упрощением тригонометрического выражения.

Связь с теоремой Стюарта

Классический вывод опирается на свойство биссектрисы: она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Если биссектриса из вершины A делит сторону a на отрезки a₁ и a₂, то

\[ \frac{a₁}{a₂} = \frac{b}{c} \]

Зная, что a₁ + a₂ = a, можно выразить a₁ и a₂ через известные стороны, а затем применить теорему Стюарта для вычисления l_a. Результат, как и ожидается, совпадает с основной формулой.

Коротко: алгоритм поиска биссектрисы

Определите, к какой стороне треугольника вам нужна биссектриса.
Запишите длины всех трёх сторон. Убедитесь, что они удовлетворяют неравенству треугольника.
Подставьте в формулу l = √(b·c·(1 – a²/(b+c)²)), где a – выбранная сторона, b и c – две остальные.
Вычислите значение под корнем, затем извлеките квадратный корень.

Если вместо стороны известен угол – используйте формулу с косинусом половины угла. В любом случае, один и тот же результат можно проверить через онлайн-калькулятор, подставив исходные числа.

Часто задаваемые вопросы

Что такое биссектриса треугольника?

Биссектриса – это отрезок, соединяющий вершину угла с противолежащей стороной и делящий этот угол пополам. В треугольнике можно провести три биссектрисы, все они пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Как найти длину биссектрисы, если известны все три стороны?

Используется формула l = √(b·c · (1 – a²/(b+c)²)), где a – сторона, на которую опущена биссектриса, b и c – две другие стороны. Подставьте значения и вычислите квадратный корень.

Как вывести формулу длины биссектрисы?

Формулу можно вывести из теоремы Стюарта, зная, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Длины этих отрезков выражают через стороны, а затем находят квадрат биссектрисы.

Что делать, если треугольник прямоугольный?

Общая формула остаётся верной, но для биссектрисы из прямого угла есть упрощённый вид: l = (√2·b·c)/(b+c), где b и c – катеты. Длина биссектрисы оказывается примерно в 1,4 раза меньше среднего геометрического катетов.

Как найти биссектрису через две стороны и угол между ними?

Можно сначала вычислить третью сторону по теореме косинусов, а затем применить стандартную формулу. Или сразу использовать выражение l = (2·b·c·cos(α/2))/(b+c), где α – угол между сторонами b и c.