Число кратное
Число кратно другому числу, если делится на него без остатка. На странице разберём определение кратности, приведём примеры и правила поиска кратных чисел для решения задач по математике.
Что такое число кратное
Число B кратно числу A, если B делится на A нацело (без остатка). Другими словами, существует такое натуральное число k, что B = A × k.
Символически пишут: B ⋮ A (B делится на A).
Примеры
- 12 кратно 3, так как 12 = 3 × 4
- 20 кратно 5, так как 20 = 5 × 4
- 7 кратно 7, так как 7 = 7 × 1
- 9 не кратно 4, так как 9 ÷ 4 = 2 (остаток 1)
Основные свойства кратности
- Каждое число кратно 1: любое число делится на 1.
- Каждое число кратно самому себе: n ⋮ n для любого n.
- Ноль кратен любому числу: 0 ÷ a = 0 для любого ненулевого a.
- Если B кратно A, а C кратно B, то C кратно A (транзитивность).
- Сумма кратных: если B кратно A и C кратно A, то (B + C) кратно A.
- Произведение на число: если B кратно A, то (B × m) кратно A для любого натурального m.
Как найти числа кратные числу
Чтобы найти все числа, кратные числу a, нужно умножить его на 1, 2, 3, 4 и т.д.:
Кратные числу a: a, 2a, 3a, 4a, 5a…
Пример
Найти первые 6 чисел, кратных 8:
- 8 × 1 = 8
- 8 × 2 = 16
- 8 × 3 = 24
- 8 × 4 = 32
- 8 × 5 = 40
- 8 × 6 = 48
Ответ: 8, 16, 24, 32, 40, 48
Проверка кратности чисел
Разделите одно число на другое. Если остаток равен нулю – число кратно.
Алгоритм:
- Возьмите два числа: делимое (B) и делитель (A).
- Выполните деление: B ÷ A.
- Проверьте остаток.
- Остаток = 0 → B кратно A ✓
- Остаток ≠ 0 → B не кратно A ✗
Пример
Кратно ли 36 числу 9?
- 36 ÷ 9 = 4 (остаток 0)
- Да, 36 кратно 9
Кратно ли 37 числу 9?
- 37 ÷ 9 = 4 (остаток 1)
- Нет, 37 не кратно 9
Признаки делимости (кратности)
Быстро проверить кратность помогают признаки делимости:
| Число | Признак кратности |
|---|---|
| 2 | Число чётное (оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8) |
| 3 | Сумма цифр делится на 3 |
| 5 | Оканчивается на 0 или 5 |
| 10 | Оканчивается на 0 |
| 4 | Последние две цифры делятся на 4 |
| 9 | Сумма цифр делится на 9 |
Примеры применения
- 126 кратно 3? Сумма цифр: 1 + 2 + 6 = 9 (делится на 3) → Да
- 245 кратно 5? Оканчивается на 5 → Да
- 432 кратно 4? Последние две цифры: 32 ÷ 4 = 8 → Да
Наименьшее общее кратное (НОК)
НОК двух чисел – это наименьшее число, которое кратно обоим исходным числам.
Пример: НОК(12, 18)
- Кратные 12: 12, 24, 36, 48…
- Кратные 18: 18, 36, 54…
- НОК = 36 (первое общее число)
НОК используется при сложении дробей и решении задач на совместную работу.
Практическое применение
Понятие кратности используется:
- При решении уравнений и систем уравнений
- В расписании (когда события повторяются через равные промежутки)
- При распределении предметов поровну
- В программировании (циклы, условия)
- В музыке (кратные ритмы и такты)
Выводы
Число B кратно числу A, если делится на A без остатка. Это фундаментальное понятие в математике, связанное с делимостью и позволяющее классифицировать числа по отношению друг к другу. Используйте признаки делимости для быстрой проверки и помните о свойствах кратности при решении задач.
Часто задаваемые вопросы
Что значит число кратно числу?
Число B кратно числу A, если B делится на A без остатка. Например, 15 кратно 5, потому что 15 ÷ 5 = 3.
Как проверить, кратно ли число?
Разделите большее число на меньшее. Если остаток равен нулю, то число кратно. Пример: 24 ÷ 6 = 4 (без остатка) – 24 кратно 6.
Какие числа кратны 7?
Кратны 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 и далее по циклу. Это результаты умножения 7 на натуральные числа.
Что такое наименьшее общее кратное (НОК)?
НОК двух чисел – самое маленькое число, которое кратно обоим. Например, НОК(4, 6) = 12, потому что 12 делится и на 4, и на 6.
Чем кратность отличается от делимости?
Кратность и делимость – близкие понятия. Число B кратно A ⟺ A делит B. Это одно и то же явление, выраженное по-разному.
Может ли число быть кратно самому себе?
Да. Каждое число кратно самому себе, так как делится на себя без остатка. Например, 10 кратно 10.