Числа в шестнадцатеричной системе счисления

Что такое шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная (hex, hexadecimal) система счисления — позиционная система с основанием 16. В ней используются 16 символов: цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F. Каждая позиция (разряд) числа представляет степень числа 16.

Алфавит системы:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — цифры (соответствуют десятичным 0–9)
• A, B, C, D, E, F — буквы (соответствуют десятичным 10, 11, 12, 13, 14, 15)

Шестнадцатеричная система широко применяется в информатике, так как одна hex-цифра точно соответствует четырём битам (полубайту), что упрощает представление двоичных данных в компактной форме.

Таблица соответствий систем счисления

Как переводить десятичные числа в шестнадцатеричные

Алгоритм перевода методом деления:

1. Разделите исходное десятичное число на 16
2. Запишите остаток (это будет младшая hex-цифра)
3. Если остаток ≥ 10, замените его буквой (10→A, 11→B и т.д.)
4. Используйте частное для следующей итерации
5. Повторяйте, пока частное не станет равным нулю
6. Запишите остатки в обратном порядке (снизу вверх)

Пример 1: перевод числа 156

156 ÷ 16 = 9 (остаток 12 = C)
9 ÷ 16 = 0 (остаток 9 = 9)

Результат: 9C₁₆

Пример 2: перевод числа 4095

4095 ÷ 16 = 255 (остаток 15 = F)
255 ÷ 16 = 15 (остаток 15 = F)
15 ÷ 16 = 0 (остаток 15 = F)

Результат: FFF₁₆

Пример 3: перевод числа 1000

1000 ÷ 16 = 62 (остаток 8 = 8)
62 ÷ 16 = 3 (остаток 14 = E)
3 ÷ 16 = 0 (остаток 3 = 3)

Результат: 3E8₁₆

Как переводить шестнадцатеричные числа в десятичные

Формула позиционного разложения:

Для числа вида a₍ₙ₎a₍ₙ₋₁₎…a₂a₁a₀ в hex:

Десятичное значение = aₙ×16ⁿ + aₙ₋₁×16ⁿ⁻¹ + … + a₂×16² + a₁×16¹ + a₀×16⁰

где aᵢ — значение цифры в позиции i (начиная справа с 0).

Пример 1: перевод 3A7₁₆

3A7₁₆ = 3×16² + A×16¹ + 7×16⁰
      = 3×256 + 10×16 + 7×1
      = 768 + 160 + 7
      = 935₁₀

Пример 2: перевод FF₁₆

FF₁₆ = F×16¹ + F×16⁰
     = 15×16 + 15×1
     = 240 + 15
     = 255₁₀

Пример 3: перевод 1C2B₁₆

1C2B₁₆ = 1×16³ + C×16² + 2×16¹ + B×16⁰
       = 1×4096 + 12×256 + 2×16 + 11×1
       = 4096 + 3072 + 32 + 11
       = 7211₁₀

Перевод между двоичной и шестнадцатеричной системами

Одна hex-цифра представляет ровно 4 бита, что делает перевод особенно простым.

Из двоичной в шестнадцатеричную:

1. Разбейте двоичное число на группы по 4 бита справа налево
2. Дополните левую группу нулями до 4 бит при необходимости
3. Переведите каждую группу в hex-цифру по таблице

Пример: 11010110101₂ → hex

Разбиение: 110 1011 0101 → 0110 1011 0101
Перевод по группам:
0110₂ = 6₁₆
1011₂ = B₁₆
0101₂ = 5₁₆

Результат: 6B5₁₆

Из шестнадцатеричной в двоичную:

1. Замените каждую hex-цифру соответствующей 4-битной группой
2. Объедините группы

Пример: 2F8₁₆ → двоичная

2₁₆ = 0010₂
F₁₆ = 1111₂
8₁₆ = 1000₂

Результат: 001011111000₂ (или 10111110002 после удаления ведущих нулей)

Арифметические операции в шестнадцатеричной системе

Сложение

Правила те же, что в десятичной системе, но при превышении 15 (F) происходит перенос в следующий разряд.

Пример: A3₁₆ + 5C₁₆

   A3
 + 5C
-----
  FF

Поразрядно:
3 + C = 3 + 12 = 15 = F (переноса нет)
A + 5 = 10 + 5 = 15 = F

Ответ: FF₁₆

Пример с переносом: 7E₁₆ + A5₁₆

   7E
 + A5
-----
  123

Поразрядно:
E + 5 = 14 + 5 = 19 = 3₁₆ (перенос 1, т.к. 19 = 1×16 + 3)
7 + A + 1 = 7 + 10 + 1 = 18 = 2₁₆ (перенос 1, т.к. 18 = 1×16 + 2)

Ответ: 123₁₆

Вычитание

При необходимости заимствуем 16 из старшего разряда.

Пример: B5₁₆ − 2A₁₆

   B5
 - 2A
-----
  8B

Поразрядно:
5 − A = 5 − 10: заимствуем 16, получаем (5+16) − 10 = 11 = B
(B−1) − 2 = A − 2 = 10 − 2 = 8

Ответ: 8B₁₆

Умножение

Используется таблица умножения hex-цифр или перевод в десятичную систему.

Пример: C₁₆ × 5₁₆

C₁₆ × 5₁₆ = 12₁₀ × 5₁₀ = 60₁₀ = 3C₁₆

Применение шестнадцатеричных чисел

Цветовые коды в веб-дизайне

RGB-цвета задаются в формате #RRGGBB, где каждая пара hex-цифр представляет интенсивность красного, зелёного и синего (0–255).

Примеры:

• #FF0000 — красный (255, 0, 0)
• #00FF00 — зелёный (0, 255, 0)
• #0000FF — синий (0, 0, 255)
• #FFFFFF — белый (255, 255, 255)
• #000000 — чёрный (0, 0, 0)
• #FF5733 — оранжево-красный (255, 87, 51)

Адреса памяти

В программировании адреса памяти записываются с префиксом 0x:

• 0x0000 — начальный адрес
• 0xFFFF — максимальный адрес в 16-битной системе (65535)
• 0x7FFFFFFF — максимальное положительное значение для signed int (2 147 483 647)

MAC-адреса

Физические адреса сетевых устройств состоят из 6 байт, записанных hex-числами:

• 00:1A:2B:3C:4D:5E
• AC:DE:48:00:11:22

Символы Unicode

Коды символов в стандарте Unicode:

• U+0041 — латинская буква A
• U+00A9 — символ копирайта ©
• U+20AC — символ евро €

Обозначения и форматы записи

Префиксы для указания системы счисления:

• 0x — в языках C, C++, Java, JavaScript: 0x2F, 0xABCD
• $ — в ассемблере, Pascal: $FF, $1234
• # — в HTML/CSS для цветов: #FF5733
• h — суффикс в некоторых ассемблерах: 3Fh, A0h
• ₁₆ — математический индекс: 2F₁₆, ABCD₁₆

Регистр букв (A–F или a–f) обычно не имеет значения: FF = ff = Ff = fF.

Полезные шестнадцатеричные константы

Особенности работы с hex-числами

Чётность и нечётность

Младшая hex-цифра определяет чётность всего числа:

• Чётные: 0, 2, 4, 6, 8, A, C, E
• Нечётные: 1, 3, 5, 7, 9, B, D, F

Примеры:

• 2A8₁₆ — чётное (заканчивается на 8)
• 1F3₁₆ — нечётное (заканчивается на 3)

Деление и остатки

При делении hex-числа на 16 остаток равен младшей hex-цифре, а частное — числу без неё:

• 3A7₁₆ ÷ 16₁₆ = 3A₁₆ (остаток 7₁₆)
• FF₁₆ ÷ 16₁₆ = F₁₆ (остаток F₁₆)

Степени двойки

Степени двойки имеют простую форму в hex (единица и нули):

• 2⁴ = 16₁₀ = 10₁₆
• 2⁸ = 256₁₀ = 100₁₆
• 2¹² = 4096₁₀ = 1000₁₆
• 2¹⁶ = 65536₁₀ = 10000₁₆

Типичные ошибки при работе с hex

1. Путаница букв и цифр

• Неправильно: принять O (букву) за 0 (ноль) или I (ай) за 1
• Правильно: в hex используются только буквы A–F

2. Неверная интерпретация формата

• 10₁₆ ≠ 10₁₀ (hex 10 = десятичное 16)
• Всегда обращайте внимание на префикс или индекс системы

3. Ошибки переноса при сложении

• Забыть, что перенос происходит при сумме ≥ 16, а не ≥ 10

4. Неправильная замена букв числами

• B = 11, а не 12 (часто путают порядковый номер)
• Запомните: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

Практические примеры расчётов

Пример 1: Перевод IP-адреса

IPv4-адрес 192.168.1.254 в hex:

192 = C0₁₆
168 = A8₁₆
1 = 01₁₆
254 = FE₁₆

Результат: C0.A8.01.FE

Пример 2: Размер файла

Файл размером 5120 байт в hex:

5120 ÷ 16 = 320 (остаток 0)
320 ÷ 16 = 20 (остаток 0)
20 ÷ 16 = 1 (остаток 4)
1 ÷ 16 = 0 (остаток 1)

Результат: 1400₁₆ байт = 1.25 КБ

Пример 3: Работа с битовыми масками

Проверка состояния флагов в байте 0xA5:

A5₁₆ = 10100101₂

Бит 0: 1 (включен)
Бит 1: 0 (выключен)
Бит 2: 1 (включен)
Бит 5: 1 (включен)
Бит 7: 1 (включен)

Пример 4: Сложение адресов

Базовый адрес 0x1000 + смещение 0x2BC:

  1000
+ 02BC
------
  12BC₁₆

Проверка: 4096₁₀ + 700₁₀ = 4796₁₀ = 12BC₁₆

Инструменты для работы с hex

Калькуляторы операционных систем:

• Windows: Калькулятор в программистском режиме (Win + R → calc → View → Programmer)
• macOS: Calculator в программистском режиме (View → Programmer)
• Linux: galculator, qalculate

Онлайн-инструменты:

• Конвертеры систем счисления
• Калькуляторы цветов
• HEX-редакторы

Командная строка:

• Python: hex(255) → '0xff', int('FF', 16) → 255
• JavaScript: (255).toString(16) → 'ff', parseInt('FF', 16) → 255
• Bash: echo "obase=16; 255" | bc → FF

Советы по быстрому счёту

Запомните ключевые соответствия:

• F₁₆ = 15₁₀
• 10₁₆ = 16₁₀
• 100₁₆ = 256₁₀
• FF₁₆ = 255₁₀

Быстрое умножение на 16: Добавьте 0 справа в hex (как ×10 в десятичной):

• 5₁₆ × 16 = 50₁₆
• A₁₆ × 16 = A0₁₆

Быстрое деление на 16: Отбросьте последнюю hex-цифру:

• 3F₁₆ ÷ 16 = 3₁₆ (остаток F₁₆)

Удвоение числа: Если старшая цифра < 8, умножьте каждую цифру на 2 с учётом переноса:

• 2A₁₆ × 2: 2×2=4, A×2=14₁₆ → 54₁₆

Заключение

Шестнадцатеричная система счисления — компактный и удобный способ представления данных в компьютерных системах. Понимание hex необходимо для низкоуровневого программирования, отладки, работы с цветами и сетевыми протоколами. Используйте онлайн-калькулятор для быстрого и точного перевода чисел, проверки расчётов и выполнения операций между системами счисления.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.