Числа в 4 системе счисления

Что такое четверичная система счисления?

Четверичная система счисления, или 4-я система, — это позиционная система с основанием 4. Это означает, что для записи чисел в ней используется всего четыре цифры: 0, 1, 2 и 3. Каждая позиция в числе соответствует определенной степени числа 4.

В отличие от привычной нам десятичной системы (с основанием 10), где разряды соответствуют единицам, десяткам, сотням (10⁰, 10¹, 10²), в четверичной системе разряды соответствуют единицам, четверкам, шестнадцаткам (4⁰, 4¹, 4²) и так далее.

Например, число 321₄ расшифровывается как: 3 × 4² + 2 × 4¹ + 1 × 4⁰ = 3 × 16 + 2 × 4 + 1 × 1 = 48 + 8 + 1 = 57₁₀.

Индекс ₄ внизу указывает, что число записано в четверичной системе, а ₁₀ — в десятичной.

Как перевести числа из 4-й системы в десятичную

Перевод из четверичной системы в десятичную выполняется с помощью метода, описанного выше — разложения числа по степеням основания.

Алгоритм перевода:

1. Запишите четверичное число.
2. Присвойте каждой цифре номер позиции, начиная с нуля справа налево.
3. Умножьте каждую цифру на 4, возведенное в степень ее позиции.
4. Сложите все полученные произведения.

Пример: Переведем число 1323₄ в десятичную систему.

Расчет: (3 × 4⁰) + (2 × 4¹) + (3 × 4²) + (1 × 4³) = (3 × 1) + (2 × 4) + (3 × 16) + (1 × 64) = 3 + 8 + 48 + 64 = 123₁₀.

Как перевести числа из десятичной системы в 4-ю

Для обратного перевода используется метод деления с остатком на основание новой системы, то есть на 4.

Алгоритм перевода:

1. Возьмите десятичное число и разделите его на 4.
2. Запишите остаток от деления (он будет последней цифрой четверичного числа).
3. Полученное частное снова разделите на 4 и запишите новый остаток.
4. Повторяйте процесс до тех пор, пока частное не станет равным нулю.
5. Запишите все остатки в обратном порядке — это и будет искомое число в 4-й системе.

Пример: Переведем число 75₁₀ в четверичную систему.

Расчет:

1. 75 ÷ 4 = 18 (остаток 3)
2. 18 ÷ 4 = 4 (остаток 2)
3. 4 ÷ 4 = 1 (остаток 0)
4. 1 ÷ 4 = 0 (остаток 1)

Теперь записываем остатки снизу вверх: 1023₄. Проверка: 1·4³ + 0·4² + 2·4¹ + 3·4⁰ = 64 + 0 + 8 + 3 = 75₁₀.

Связь с двоичной системой счисления

Четверичная система имеет простую и удобную связь с двоичной системой (основание 2), так как 4 является степенью двойки (4 = 2²). Эта связь широко используется в информатике и вычислительной технике.

Перевод из двоичной системы в четверичную:

1. Разбейте двоичное число на группы по две цифры (бита), начиная справа. Если в последней (самой левой) группе осталась одна цифра, дополните ее слева нулем.
2. Каждую пару замените соответствующей четверичной цифрой:
   • 00 → 0
   • 01 → 1
   • 10 → 2
   • 11 → 3

Пример: Переведем 11011110₂ в четверичную систему. Разбиваем на пары: (11)(01)(11)(10)₂. Заменяем: 3 1 3 2₄.

Перевод из четверичной системы в двоичную: Этот процесс выполняется в обратном порядке: каждую четверичную цифру заменяют на ее двузначный двоичный эквивалент.

Пример: Переведем 2031₄ в двоичную систему. Заменяем каждую цифру:

• 2 → 10
• 0 → 00
• 3 → 11
• 1 → 01 Результат: 10001101₂.

Где применяется четверичная система?

Хотя четверичная система не так распространена, как двоичная или десятичная, она находит применение в некоторых нишах:

• Теоретическая информатика: Изучение различных систем счисления и их свойств.
• Криптография: Некоторые алгоритмы могут использовать системы счисления с основанием, являющимся степенью двойки.
• Исторические и культурные контексты: Некоторые древние культуры использовали счетовые системы, близкие к четверичной.

В основном же она представляет интерес как удобный промежуточный формат для компактной записи и анализа длинных двоичных последовательностей.

Таблица соответствия чисел

Для наглядности приведем таблицу с первыми числами в десятичной, двоичной и четверичной системах.

Заключение

Четверичная система счисления — это простая и логичная позиционная система с основанием 4. Понимание ее принципов, особенно связи с двоичной системой, является полезным навыком для студентов, изучающих информатику и математику. Благодаря легкому переводу между 2 и 4 системами, она служит удобным инструментом для работы с двоичными данными, делая их более короткими и читаемыми.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.