Числа в 2 системе счисления

Что такое двоичная система счисления

Двоичная (бинарная) система счисления — это позиционная система с основанием 2, использующая только две цифры: 0 и 1. Каждая позиция (разряд) числа представляет степень числа 2, начиная с 2⁰ справа и увеличиваясь влево.

Основные характеристики:

• Основание системы: 2
• Цифры (алфавит): 0, 1
• Разрядность: каждая позиция — степень двойки (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…)
• Запись: для отличия от других систем двоичные числа записывают с индексом ₂ или префиксом 0b (например: 1011₂, 0b1011)

Двоичная система — фундамент работы всех цифровых устройств: процессоров, памяти, сетевых протоколов, хранения данных. Любая информация в компьютере (текст, изображения, звук, видео) в конечном счёте представлена последовательностью нулей и единиц.

Таблица соответствий десятичных и двоичных чисел

Закономерности:

• n бит позволяют закодировать 2ⁿ различных чисел (от 0 до 2ⁿ−1)
• Наибольшее число из n бит: все единицы (например, 1111 = 15)
• Степени двойки имеют только одну единицу (1, 10, 100, 1000…)

Перевод из десятичной системы в двоичную

Метод деления на 2

Алгоритм:

1. Разделить исходное десятичное число на 2
2. Записать остаток (0 или 1)
3. Взять целую часть результата
4. Повторять шаги 1–3, пока результат не станет равен 0
5. Записать остатки в обратном порядке (снизу вверх)

Пример: перевод числа 77 в двоичную систему

77 ÷ 2 = 38  остаток 1
38 ÷ 2 = 19  остаток 0
19 ÷ 2 = 9   остаток 1
9 ÷ 2 = 4    остаток 1
4 ÷ 2 = 2    остаток 0
2 ÷ 2 = 1    остаток 0
1 ÷ 2 = 0    остаток 1

Результат: 1001101₂

Проверка: 1×2⁶ + 0×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 64 + 8 + 4 + 1 = 77 ✓

Метод вычитания степеней двойки

Алгоритм:

1. Найти наибольшую степень 2, не превышающую число
2. Вычесть её, поставить 1 в соответствующий разряд
3. Повторить для остатка
4. В пропущенных разрядах поставить 0

Пример: перевод числа 156 в двоичную систему

• 156 ≥ 128 (2⁷) → 156 − 128 = 28 → разряд 7: 1
• 28 < 64 (2⁶) → разряд 6: 0
• 28 < 32 (2⁵) → разряд 5: 0
• 28 ≥ 16 (2⁴) → 28 − 16 = 12 → разряд 4: 1
• 12 ≥ 8 (2³) → 12 − 8 = 4 → разряд 3: 1
• 4 ≥ 4 (2²) → 4 − 4 = 0 → разряд 2: 1
• 0 < 2 (2¹) → разряд 1: 0
• 0 < 1 (2⁰) → разряд 0: 0

Результат: 10011100₂

Перевод из двоичной системы в десятичную

Основной метод: сумма степеней двойки

Формула:

Число₁₀ = aₙ×2ⁿ + aₙ₋₁×2ⁿ⁻¹ + … + a₁×2¹ + a₀×2⁰

где aᵢ — цифра в позиции i (0 или 1), позиции нумеруются справа налево, начиная с 0.

Пример 1: перевод 11010₂

Расчёт: 1×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1 = 16 + 8 + 2 = 26

Пример 2: перевод 1111011₂

1×64 + 1×32 + 1×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 123

Быстрый метод для программистов

Можно использовать удвоение и сложение слева направо:

1. Начать с 0
2. Для каждой цифры: умножить текущий результат на 2 и прибавить цифру

Пример: 1011₂

• 0 → 0×2+1 = 1
• 1 → 1×2+0 = 2
• 2 → 2×2+1 = 5
• 5 → 5×2+1 = 11

Арифметические операции с двоичными числами

Сложение

Правила:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 (0 с переносом 1 в старший разряд)
• 1 + 1 + 1 (с переносом) = 11 (1 с переносом 1)

Пример: 1011 + 110

    1011  (11₁₀)
  +  110  (6₁₀)
  ------
   10001  (17₁₀)

Пошагово справа налево:

1. 1+0=1
2. 1+1=0, перенос 1
3. 0+1+перенос 1=0, перенос 1
4. 1+0+перенос 1=0, перенос 1
5. Перенос 1 в новый разряд

Вычитание

Правила:

• 0 − 0 = 0
• 1 − 0 = 1
• 1 − 1 = 0
• 0 − 1 = 1 (с заёмом 1 из старшего разряда)

Пример: 1101 − 1001

   1101  (13₁₀)
 − 1001  (9₁₀)
 ------
   0100  (4₁₀)

Умножение

Умножаем, как столбиком, но по двоичным правилам:

• 0 × 0 = 0
• 0 × 1 = 0
• 1 × 0 = 0
• 1 × 1 = 1

Пример: 101 × 11

      101  (5₁₀)
    ×  11  (3₁₀)
    -----
      101
   1010
   ------
   1111   (15₁₀)

Деление

Аналогично делению в столбик в десятичной системе, но проще: в каждом шаге либо 0 (не вычитается), либо 1 (вычитается делитель).

Пример: 1110 ÷ 10

1110 ÷ 10 = 111  (14 ÷ 2 = 7)

Работа с отрицательными числами

Прямой код

Старший бит — знаковый: 0 для положительных, 1 для отрицательных. Недостаток: два представления нуля (0000 и 1000), сложность операций.

Дополнительный код (Two’s complement)

Стандарт в современных компьютерах для представления отрицательных чисел.

Получение дополнительного кода:

1. Записать модуль числа в двоичном виде
2. Инвертировать все биты (обратный код)
3. Прибавить 1

Пример: −5 в 8-битном дополнительном коде

1. 5 = 00000101
2. Инверсия: 11111010
3. Прибавить 1: 11111011

Диапазоны для 8 бит:

• Беззнаковые: 0 до 255
• Знаковые (дополнительный код): −128 до +127

Биты, байты и единицы измерения

Основные единицы

• Бит (bit): минимальная единица, 0 или 1
• Байт (byte): 8 бит, от 00000000 до 11111111 (0–255₁₀)
• Килобайт (КБ): 1024 байт
• Мегабайт (МБ): 1024 КБ = 1 048 576 байт
• Гигабайт (ГБ): 1024 МБ

Примечание: в двоичных приставках используется 1024 (2¹⁰), а не 1000, как в десятичных системах. Международный стандарт рекомендует обозначения КиБ, МиБ, ГиБ (кибибайт, мебибайт, гибибайт) для двоичных степеней, но в практике часто применяют КБ, МБ, ГБ.

Битовые маски и операции

Основные побитовые операции:

Применение:

• Установка бита: число | (1 << позиция)
• Сброс бита: число & ~(1 << позиция)
• Инверсия бита: число ^ (1 << позиция)
• Проверка бита: (число >> позиция) & 1

Применение двоичной системы

В программировании

• Флаги и битовые поля: хранение нескольких boolean-значений в одном числе
• Права доступа: в Unix/Linux (rwxrwxrwx = 111111111₂ = 777₈)
• Сетевые маски: 255.255.255.0 = 11111111.11111111.11111111.00000000
• Кодирование символов: ASCII, UTF-8
• Хеширование и криптография

В электронике

• Логические элементы: И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ
• Триггеры и регистры: хранение состояния
• АЦП/ЦАП: преобразование аналог↔цифра
• Адресация памяти: каждый адрес — двоичное число

В кодировании информации

• IP-адреса: 192.168.1.1 = 11000000.10101000.00000001.00000001
• RGB-цвета: #FF5733 = 11111111 01010111 00110011
• QR-коды и штрих-коды
• Форматы файлов: заголовки, метаданные

Примеры практических расчётов

Пример 1: Определение подсети

Задача: IP 192.168.10.50 с маской 255.255.255.192. Найти адрес сети.

Решение:

IP: 11000000.10101000.00001010.00110010
Маска: 11111111.11111111.11111111.11000000
Сеть (IP AND Маска): 11000000.10101000.00001010.00000000 = 192.168.10.0

Пример 2: Расчёт размера данных

Задача: Сколько чисел от 0 до 1000 можно закодировать, и сколько бит потребуется?

Решение:

Числа: 0–1000 = 1001 значение
Ближайшая степень 2: 2¹⁰ = 1024 ≥ 1001
Ответ: необходимо 10 бит

Пример 3: Конверсия единиц

Задача: Файл 2.5 МБ — сколько это бит?

Решение:

2.5 МБ = 2.5 × 1024 КБ = 2560 КБ
2560 КБ × 1024 байт = 2 621 440 байт
2 621 440 байт × 8 бит = 20 971 520 бит

Распространённые ошибки и как их избежать

Ошибка 1: Путаница в разрядности

Неверно: считать, что 1111 + 1 = 10000 всегда возможно
Верно: в 4-битной арифметике происходит переполнение: 1111 + 1 = 0000 (с флагом переноса)

Ошибка 2: Неправильный перевод

Неверно: записывать остатки деления в прямом порядке
Верно: остатки записывают снизу вверх (последний остаток — старший разряд)

Ошибка 3: Игнорирование знака

Неверно: интерпретировать 11111111 как 255 в знаковой арифметике
Верно: в дополнительном коде 8 бит это −1

Ошибка 4: Использование 1000 вместо 1024

Неверно: 1 МБ = 1 000 000 байт
Верно: 1 МБ = 1 048 576 байт (в двоичных приставках)

Советы и оптимизация

Быстрые проверки

• Чётность: если младший бит = 0, число чётное; если 1 — нечётное
• Степень двойки: число является степенью 2, если содержит ровно одну единицу (10, 100, 1000…)
• Умножение/деление на 2ⁿ: сдвиг на n позиций влево/вправо

Мнемоники

Степени двойки (первые 16):

Запоминание: каждая следующая — удвоение предыдущей.

Визуализация

Для сложных операций рисуйте таблицу битов:

Позиция: 7  6  5  4  3  2  1  0
Число A: 1  0  1  1  0  1  0  1
Число B: 0  1  1  0  1  0  1  1
A AND B: 0  0  1  0  0  0  0  1

Связь с другими системами счисления

Восьмеричная система (основание 8)

Каждая восьмеричная цифра = 3 бита:

Пример: 753₈ = 111 101 011₂

Шестнадцатеричная система (основание 16)

Каждая hex-цифра = 4 бита:

Пример: 2A3F₁₆ = 0010 1010 0011 1111₂

Практическое применение: hex компактнее для записи длинных двоичных последовательностей (адреса памяти, дампы, хеши).

Заключение

Двоичная система счисления — универсальный язык цифровой техники. Понимание принципов работы с битами и байтами критически важно для программистов, системных администраторов, инженеров и всех, кто работает с компьютерами на низком уровне. Используйте онлайн-калькулятор для быстрых конверсий и проверки расчётов, но развивайте навык ручного перевода — это укрепляет понимание внутренних процессов вычислительных систем.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.