Числа кратные 3

Что такое числа кратные 3

Число называется кратным трём, если оно делится на 3 без остатка. Другими словами, результатом деления такого числа на 3 будет целое число. Например: 6÷3=2, 12÷3=4, 99÷3=33 — все эти числа кратны трём.

Математически это записывается как: число n кратно 3, если существует целое число k, при котором n = 3k.

Кратность тройке — один из базовых признаков делимости, который широко используется в арифметике, алгебре, теории чисел, программировании и повседневных расчётах.

Признак делимости на 3

Существует простое правило проверки кратности трём:

Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 без остатка.

Алгоритм проверки

1. Выпишите все цифры числа
2. Сложите их между собой
3. Проверьте, делится ли сумма на 3
4. Если да — исходное число кратно 3; если нет — не кратно

Примеры применения признака

Число 147:

• Сумма цифр: 1 + 4 + 7 = 12
• 12 ÷ 3 = 4 (делится без остатка)
• Результат: 147 кратно 3

Число 245:

• Сумма цифр: 2 + 4 + 5 = 11
• 11 ÷ 3 = 3,666… (не делится нацело)
• Результат: 245 не кратно 3

Число 8523:

• Сумма цифр: 8 + 5 + 2 + 3 = 18
• 18 ÷ 3 = 6
• Результат: 8523 кратно 3

Многократное применение признака

Если сумма цифр получилась большой, можно повторить процесс:

Число 456789:

• Первая сумма: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39
• Вторая сумма: 3 + 9 = 12
• Третья сумма: 1 + 2 = 3
• Результат: кратно 3

Продолжайте складывать до получения однозначного числа. Если итог — 3, 6 или 9, число кратно трём.

Математическое обоснование признака

Признак делимости на 3 основан на свойствах позиционной десятичной системы счисления.

Любое число можно представить как сумму произведений цифр на степени десяти:

n = a₀ + a₁·10 + a₂·100 + a₃·1000 + …

где a₀, a₁, a₂, … — цифры числа.

При делении на 3:

• 10 ≡ 1 (mod 3)
• 100 ≡ 1 (mod 3)
• 1000 ≡ 1 (mod 3)
• и так далее

Все степени десяти дают остаток 1 при делении на 3. Следовательно:

n ≡ a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + … (mod 3)

Остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3. Поэтому если сумма цифр кратна трём, то и само число кратно трём.

Таблица чисел кратных 3

От 1 до 100

Всего от 1 до 100: 33 числа кратных трём.

От 100 до 200

102, 105, 108, 111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135, 138, 141, 144, 147, 150, 153, 156, 159, 162, 165, 168, 171, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192, 195, 198.

Всего от 100 до 200: 33 числа (в каждой сотне ровно 33 кратных трём).

Закономерность

В любом диапазоне из 100 последовательных чисел содержится либо 33, либо 34 числа кратных трём (в зависимости от начального значения).

Примеры и решения задач

Задача 1: Проверка трёхзначного числа

Условие: Кратно ли число 573 трём?

Решение:

• Сумма цифр: 5 + 7 + 3 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• Ответ: Да, 573 кратно 3 (573 = 3 × 191)

Задача 2: Поиск кратных в диапазоне

Условие: Сколько чисел кратных 3 находится между 50 и 80?

Решение:

• Первое кратное после 50: 51 (51 = 3 × 17)
• Последнее кратное до 80: 78 (78 = 3 × 26)
• Количество: (78 - 51) ÷ 3 + 1 = 10
• Ответ: 10 чисел (51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78)

Задача 3: Подбор цифры

Условие: Какие цифры можно подставить вместо x, чтобы число 52x было кратно 3?

Решение:

• Сумма известных цифр: 5 + 2 = 7
• Полная сумма должна делиться на 3: 7 + x
• Подходящие суммы: 9, 12, 15
• Варианты x: 2 (7+2=9), 5 (7+5=12), 8 (7+5=15)
• Ответ: x может быть 2, 5 или 8 (числа 522, 525, 528)

Задача 4: Большое число

Условие: Проверить кратность числа 123456789 трём.

Решение:

• Сумма цифр: 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45
• 45 ÷ 3 = 15
• Ответ: Да, кратно 3 (123456789 = 3 × 41152263)

Практические применения

В математике

• Упрощение дробей: проверка возможности сокращения на 3
• НОД и НОК: поиск общих делителей
• Факторизация: разложение на простые множители
• Арифметические прогрессии: анализ членов последовательностей

В программировании

# Проверка кратности тремя способами
def is_multiple_of_3_v1(n):
    return n % 3 == 0

def is_multiple_of_3_v2(n):
    return sum(int(d) for d in str(abs(n))) % 3 == 0

# Результат одинаковый, но признак через сумму цифр
# работает даже без операции деления

В повседневной жизни

• Распределение предметов: разделение на 3 равные группы
• Планирование событий: цикличность каждый третий день/неделю/месяц
• Финансы: проверка сумм при делении на троих
• Игры и головоломки: задачи на кратность

Свойства чисел кратных 3

Основные свойства

1. Сумма и разность: сумма или разность двух чисел кратных 3 также кратна 3

   • Пример: 12 + 15 = 27 (все кратны 3)

2. Произведение: если хотя бы один множитель кратен 3, произведение кратно 3

   • Пример: 5 × 12 = 60 (60 кратно 3)

3. Последовательность: каждое третье натуральное число кратно 3

4. Чётность: среди чисел кратных 3 есть как чётные (6, 12, 18), так и нечётные (3, 9, 15)

Связь с другими признаками

• Кратность 6: число кратно 6, если оно кратно и 2, и 3 одновременно
• Кратность 9: число кратно 9, если сумма цифр кратна 9 (более строгое условие, чем для тройки)
• Кратность 12: число должно быть кратно 3 и 4 одновременно

Частые ошибки при проверке

Ошибка 1: Забывание переноса разряда

Неверно: считать только последнюю цифру Верно: складывать ВСЕ цифры числа

Ошибка 2: Путаница с нулями

Вопрос: Кратно ли 3 число 1002?

• Сумма: 1 + 0 + 0 + 2 = 3
• Ответ: Да, кратно

Нули тоже участвуют в сумме (хотя не меняют результат).

Ошибка 3: Отрицательные числа

Признак делимости работает и для отрицательных чисел:

• −15 кратно 3 (сумма цифр 15: 1+5=6)
• Используйте модуль числа для проверки

Ошибка 4: Десятичные дроби

Признак делимости на 3 применим только к целым числам. Для дроби 12,5 проверяйте только целую часть или предварительно преобразуйте в целое число.

Как пользоваться калькулятором

Наш онлайн-калькулятор мгновенно проверяет кратность любого числа трём:

1. Введите целое число (положительное или отрицательное)
2. Калькулятор автоматически:
   • Вычислит сумму цифр
   • Проверит делимость на 3
   • Покажет результат деления (если кратно)
   • Выдаст остаток (если не кратно)

Преимущества:

• Работает с числами любой длины
• Показывает подробное объяснение
• Мгновенный результат без ручных вычислений
• Подходит для проверки домашних заданий

Генерация последовательности кратных

Формула n-го члена

n-е число кратное 3 вычисляется как:

aₙ = 3n

где n = 1, 2, 3, 4, …

Примеры:

• 1-е: 3×1 = 3
• 5-е: 3×5 = 15
• 10-е: 3×10 = 30
• 100-е: 3×100 = 300

Количество кратных в диапазоне

Количество чисел кратных 3 в диапазоне [a, b]:

Количество = ⌊b/3⌋ − ⌊(a−1)/3⌋

где ⌊x⌋ — целая часть числа.

Пример: от 10 до 50

• ⌊50/3⌋ = 16
• ⌊9/3⌋ = 3
• Количество: 16 − 3 = 13 чисел

Задачи для самопроверки

Базовый уровень

1. Кратны ли трём числа: 84, 125, 246, 371?
2. Найдите все двузначные числа кратные 3, начинающиеся на 4
3. Сколько трёхзначных чисел кратны трём?

Средний уровень

4. Какую минимальную цифру нужно дописать к числу 12345, чтобы получилось число кратное 3?
5. Верно ли, что сумма трёх последовательных натуральных чисел всегда кратна 3?
6. Найдите наибольшее четырёхзначное число, кратное 3

Продвинутый уровень

7. Докажите, что если число записывается одинаковыми цифрами (например, 777), оно кратно 3
8. Число кратно 3, первая цифра 5, последняя — 2. Может ли оно быть двузначным?
9. Сколько пятизначных чисел с суммой цифр 15 существует?

Ответы:

1. 84 — да (8+4=12), 125 — нет (1+2+5=8), 246 — да (2+4+6=12), 371 — нет (3+7+1=11)
2. Всего 9: 42, 45, 48 (сумма цифр 4+x кратна 3)
3. 300 чисел (от 100 до 999: ⌊999/3⌋ − ⌊99/3⌋ = 333 − 33 = 300)
4. Цифру 0 (1+2+3+4+5=15, уже кратно 3, добавление 0 не меняет кратность)
5. Да: n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)
6. 9999 (9+9+9+9=36, 36÷3=12)
7. Число из k одинаковых цифр d: сумма = k×d; если d кратно 3 (d=3,6,9) или k кратно 3, сумма кратна 3
8. Нет (5+2=7, нужна ещё одна цифра)
9. Задача комбинаторная, требует перебора разбиений числа 15

Заключение

Признак делимости на 3 через сумму цифр — один из самых простых и эффективных способов проверки кратности. Понимание этого правила помогает в арифметике, алгебре, программировании и повседневных вычислениях. Используйте наш калькулятор для быстрой проверки любых чисел и закрепления навыка распознавания чисел кратных трём.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.