Четырёхугольник в окружности – найдите угол

Когда в задаче просят найти угол четырёхугольника, вписанного в окружность, решение всегда строится на одном главном свойстве: сумма противоположных углов равна 180°. Зная хотя бы один угол, можно мгновенно найти противоположный.

В чём суть свойства вписанного четырёхугольника?

Четырёхугольник называют вписанным, если все его вершины лежат на окружности. Для таких фигур работает теорема:

Сумма любых двух противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Если обозначить углы как ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, то:

• ∠A + ∠C = 180°
• ∠B + ∠D = 180°

Это свойство – необходимое и достаточное условие. Если сумма противоположных углов четырёхугольника 180°, вокруг него можно описать окружность.

Как найти угол четырёхугольника в окружности?

Калькулятор выше позволяет быстро вычислить неизвестный угол – достаточно указать противоположный. Для ручного расчёта используйте простые формулы.

Формулы расчёта

Пошаговый алгоритм

1. Определите, какой угол неизвестен. Обозначьте его как ∠X.
2. Найдите противоположный ему угол. По условию задачи или через другие данные.
3. Примените формулу ∠X = 180° − ∠противоположный.
4. Проверьте: сумма всех четырёх углов должна быть 360°.

Примеры решения задач

Пример 1: Дан один угол

Условие: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, ∠A = 63°. Найдите ∠C.

Решение: ∠A и ∠C – противоположные углы, поэтому: ∠C = 180° − ∠A = 180° − 63° = 117°

Пример 2: Дан угол, найти смежный с противоположным

Условие: Вписанный четырёхугольник ABCD, ∠A = 48°. Найдите ∠B.

Решение: Сначала находим ∠C (противоположный ∠A): ∠C = 180° − 48° = 132°

Теперь ∠B (противоположный ∠D). Без дополнительных данных ∠B найти нельзя – не хватает информации. Если, например, ∠D = 90°, то: ∠B = 180° − 90° = 90°

Пример 3: Трапеция в окружности

Условие: Равнобедренная трапеция MNKP вписана в окружность, ∠M = 38°. Найдите остальные углы.

Решение: У равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны: ∠M = ∠N = 38° (при меньшем основании) или ∠M = ∠K = 38° (при боковой стороне). Проверяем через вписанную окружность:

Если ∠M = 38°, то противоположный ∠K = 180° − 38° = 142°. Оставшиеся ∠N и ∠P тоже противоположные: ∠N = ∠P = ? Нет, ∠N противоположен ∠P. Значит, ∠N + ∠P = 180°. При этом ∠N = ∠P (равнобедренная трапеция), поэтому ∠N = ∠P = 90° – это частный случай прямоугольной трапеции.

Примечание: в равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, ∠M = ∠N и ∠K = ∠P. Тогда ∠M + ∠K = 180°. Если ∠M = 38°, то ∠K = 142°, а ∠N = ∠M = 38° и ∠P = ∠K = 142°.

Ответ: ∠N = 38°, ∠K = 142°, ∠P = 142°.

Какие четырёхугольники можно вписать в окружность?

Не каждый четырёхугольник можно вписать – только тот, у которого сумма противоположных углов равна 180°.

Дополнительные свойства вписанного четырёхугольника

Кроме главного свойства о противоположных углах, полезны теорема Птолемея и теорема синусов.

Теорема Птолемея

Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон:

AC × BD = AB × CD + AD × BC

Позволяет находить сторону или диагональ, если известны остальные элементы.

Теорема синусов для сторон

Отношение каждой стороны вписанного четырёхугольника к синусу противоположного угла равно диаметру описанной окружности:

AB / sin∠C = BC / sin∠D = CD / sin∠A = AD / sin∠B = 2R

Где R – радиус описанной окружности.

Угол между секущими

Угол между двумя секущими, проведёнными из точки вне окружности, равен полуразности дуг:

∠ = ½(⌣AD − ⌣BC)

Это пригодится, если в задаче даны не сами углы, а дуги.

Частые ошибки при решении

1. Путаница противоположных и смежных углов. Свойство ∠A + ∠C = 180° работает только для противоположных углов (не соседних). Смежные углы ∠A и ∠B в сумме не обязательно дают 180°.

2. Применение свойства к произвольному четырёхугольнику. Формула ∠A + ∠C = 180° верна только для вписанного четырёхугольника. Если четырёхугольник не вписан, это свойство не работает.

3. Игнорирование условия вписанности. Если в задаче не сказано, что четырёхугольник вписан, свойство применять нельзя. Проверяйте условие.

Связь с другими темами

• Вписанный угол – равен половине дуги, на которую опирается. Свойство вписанного четырёхугольника – следствие теоремы о вписанном угле.
• Описанный четырёхугольник – суммы противоположных сторон равны (AB + CD = AD + BC). Не путайте с вписанным.
• Площадь вписанного четырёхугольника – формула Брахмагупты: S = √((p−a)(p−b)(p−c)(p−d)), где p – полупериметр.

Сведения носят справочный характер. Для экзаменационных решений сверяйтесь с учебниками и методическими рекомендациями ФИПИ.