Сумма вероятностей

Почему это так? Потому что один из возможных исходов обязательно произойдет. Если вы подбрасываете монету, она упадет либо орлом, либо решкой — третьего не дано. Значит, совокупная вероятность всех исходов должна составлять 100%.

Математически это записывается так:

$$P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + … + P(A_n) = 1$$

где $A_1, A_2, …, A_n$ — все возможные исходы события, а $P$ — функция вероятности.

Правило для несовместных событий

Когда события несовместные (не могут произойти одновременно), то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Пример: При броске кубика событие “выпадет 1 или 2” имеет вероятность:

• P(1) = 1/6
• P(2) = 1/6
• P(1 или 2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 ≈ 33%

Практические примеры

Пример 1: Подбрасывание монеты

Исходы: орел, решка

Вероятности всегда суммируются до 1.

Пример 2: Игральный кубик

Исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Каждый исход имеет вероятность 1/6.

1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1 ✓

Пример 3: Вероятность противоположного события

Если P(идет дождь) = 0,3, то P(не идет дождь) = 1 − 0,3 = 0,7

Эти события несовместны и полны, их сумма = 1.

Как использовать правило суммы вероятностей

Проверка корректности расчетов

Если вы вычислили вероятности всех возможных исходов, быстро проверьте: складываются ли они в 1?

Пример ошибки:

• P(выигрыш) = 0,25
• P(ничья) = 0,40
• P(проигрыш) = 0,40
• Сумма = 1,05 ❌ Ошибка в расчетах!

Нахождение неизвестной вероятности

Если известны вероятности некоторых событий, остальные найдутся из условия суммы = 1.

Задача: На тестировании возможны оценки: 2, 3, 4, 5. Вероятности: P(2)=0,1, P(3)=0,4, P(4)=0,3. Найти P(5).

Решение: P(5) = 1 − 0,1 − 0,4 − 0,3 = 0,2 = 20%

Частые ошибки

Правило суммы для совместных событий

Если события совместные (могут происходить одновременно), используют более сложную формулу:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) − P(A \cap B)$$

Пример: Какова вероятность вытащить из колоды карту, которая либо красная, либо туз?

• P(красная) = 26/52 = 0,5
• P(туз) = 4/52 ≈ 0,077
• P(красный туз) = 2/52 ≈ 0,038
• P(красная ИЛИ туз) = 0,5 + 0,077 − 0,038 ≈ 0,539

Вычитаем пересечение, чтобы не учитывать красные тузы дважды.

Применение в реальной жизни

Страховка: Страховая компания рассчитывает вероятности всех возможных страховых случаев так, чтобы их сумма была ≤ 1, обеспечивая прибыль.

Качество продукции: При контроле качества все исходы (брак, норма) должны иметь вероятности, сумирующиеся к 1.

Метеорология: Прогноз погоды часто дает вероятность осадков. Если вероятность дождя 70%, вероятность отсутствия дождя должна быть 30%.

Медицина: При постановке диагноза вероятности всех возможных болезней складываются в 1.

Помните: если сумма вероятностей всех взаимоисключающих исходов не равна 1, значит, либо исходы определены неправильно, либо допущена математическая ошибка. Этот закон — надежный способ проверить корректность любого вероятностного расчета.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.